Questão-05. Seja
o espaço vetorial das matrizes reais de ordem 2 e
o subespaço vetorial de V dado por
.
a) Determine um subespaço vetorial
tal que
.
b) Encontre uma base para cada subespaço vetorial
c) Encontre uma base ortonormal para cada subespaço vetorial
d) Verifique que
e) Encontre uma base ortonormal para
a partir das bases de
e
a) Determine um subespaço vetorial
b) Encontre uma base para cada subespaço vetorial
c) Encontre uma base ortonormal para cada subespaço vetorial
d) Verifique que
e) Encontre uma base ortonormal para
Passo 1
O enunciado dá:
- O espaço vetorial
, todas as matrizes reais . - O subespaço
.
O que é pedido:
a) Determinar um subespaço tal que
(com relação a um produto interno apropriado).
b) Encontrar uma base para e uma base para
.
c) Encontrar uma base ortonormal para e para
.
d) Verificar que .
e) A partir das bases de e
, encontrar uma base ortonormal para
.
a) Determinar um subespaço
b) Encontrar uma base para
c) Encontrar uma base ortonormal para
d) Verificar que
e) A partir das bases de
Observação: não foi especificado produto interno no enunciado; vou usar o produto interno padrão em espaços de matrizes, muito usado em provas, que é o produto de Frobenius (entrywise), pois é o mais natural e o que permite interpretar
de forma usual. A escolha será explicitada no próximo passo.]
Passo 2
Definindo o produto interno (idéia e fórmula).
- Explicação: o produto interno mais natural em
é o produto de Frobenius. Ele mede a soma dos produtos term a term das entradas das matrizes — é análogo ao produto escalar de vetores. - Fórmula: para
e em ,
- Interpretação: se escrevemos as matrizes como vetores de 4 componentes (ordenando as entradas), este produto interno é o produto escalar usual. É linear em cada argumento (bilinear simétrico) e positivo definido.
Vou usar esse produto interno para definir
.
Passo 3
Caracterizando
.
- Seja uma matriz genérica
. - Uma matriz genérica de
é com . - Calcular
pelo produto de Frobenius:
- Condição para
: para todo . Isso significa que, variando e livremente, precisamos ter
- Portanto
é o conjunto das matrizes com entradas fora da diagonal nulas, ou seja, as matrizes diagonais:
- Comentário pedagógico: cada condição foi obtida isolando os coeficientes de
e . Como e são independentes, cada coeficiente deve ser zero.]
Passo 4
Encontrando bases para
e
.
- Para
: qualquer matriz em é . Assim duas matrizes independentes que geram são
Verificação rápida: são linearmente independentes (não existe
não ambos nulos com
) e geram todo
. Logo
é uma base de
.
- Para
: qualquer matriz diagonal é . Então uma base natural é
Verificação: são linearmente independentes e geram
. Concluímos
e
.]
Passo 5
Construindo bases ortonormais para
e
(com o produto de Frobenius).
- Recordando: um conjunto é ortonormal se os vetores são mutuamente ortogonais e cada um tem norma
, onde a norma é . - Calcular normas e produtos internos entre os geradores escolhidos.
- Para
:
- Para
:
- Produto interno
.
- Para
- Conclusão para
: é já uma base ortonormal de . - Para
: -
. -
.
-
- Conclusão para
: é uma base ortonormal de . - Observação didática: Não foi preciso aplicar Gram–Schmidt porque as escolhas naturais já tinham norma
e eram ortogonais por ocuparem posições de entrada distintas.]
Passo 6
Verificando que
.
- Todo
pode ser escrito como soma de uma matriz diagonal (em ) e uma matriz com zeros na diagonal (em ):
A primeira parcela está em
e a segunda em
. Logo
(soma geradora).
- Interseção: se uma matriz pertence simultaneamente a
e , então ela é diagonal e tem zeros na diagonal, o que força todas as entradas a zero. Logo . - Como
e , temos soma direta . - Checagem de dimensões:
e , consistente com soma direta.]
Passo 7
Base ortonormal para
a partir das bases ortonormais de
e
.
- Como
e são ortogonais entre si (verificação: produto interno entre qualquer matriz diagonal e qualquer matriz com zeros na diagonal é zero — porque não compartilham posições não nulas), a união das bases ortonormais de e é uma base ortonormal de . - Logo uma base ortonormal de
é a união
que são quatro matrizes mutuamente ortogonais de norma
, isto é, uma base ortonormal de
.]
Resposta
a)
b) Base de
:
\newline
Base de
:
c) Base ortonormal de
:
\newline
Base ortonormal de
:
d) Sim,
, pois toda matriz
se escreve unicamente como soma de uma matriz diagonal (em
) e de uma matriz com zeros na diagonal (em
), e
.
e) Base ortonormal de
obtida unindo as bases ortonormais de
e
: