Questão-05. Seja V=M_{2 \times 2}(R) o espaço vetorial das matrizes reais de ordem 2 e W_{1} o subespaço vetorial de V dado por W_{1}=\left\{\left(\begin{array}{cc}0 & a \\\ b & 0\end{array}\right) \in M_{2 \times 2}(R) ; \quad a, b \in R\right\}.
a) Determine um subespaço vetorial W_{2} \subset V tal que W_{2}=W_{1}^{\perp}.
b) Encontre uma base para cada subespaço vetorial W_{1} e W_{2}
c) Encontre uma base ortonormal para cada subespaço vetorial W_{1} \in W_{2}
d) Verifique que V=W_{1} \oplus W_{2}
e) Encontre uma base ortonormal para V=W_{1} \oplus W_{2} a partir das bases de W_{1} e W_{2}

Passo 1

O enunciado dá:
  • O espaço vetorial V=M_{2\times 2}(\mathbb{R}), todas as matrizes reais 2\times2.
  • O subespaço W_{1}=\left\{\begin{pmatrix}0 & a\\[4pt] b & 0\end{pmatrix};\\ a,b\in\mathbb{R}\right\}.
O que é pedido:
a) Determinar um subespaço W_{2}\subset V tal que W_{2}=W_{1}^{\perp} (com relação a um produto interno apropriado).
b) Encontrar uma base para W_{1} e uma base para W_{2}.
c) Encontrar uma base ortonormal para W_{1} e para W_{2}.
d) Verificar que V=W_{1}\oplus W_{2}.
e) A partir das bases de W_{1} e W_{2}, encontrar uma base ortonormal para V.
Observação: não foi especificado produto interno no enunciado; vou usar o produto interno padrão em espaços de matrizes, muito usado em provas, que é o produto de Frobenius (entrywise), pois é o mais natural e o que permite interpretar W_1^\perp de forma usual. A escolha será explicitada no próximo passo.]

Passo 2

Definindo o produto interno (idéia e fórmula).
  • Explicação: o produto interno mais natural em M_{2\times2}(\mathbb{R}) é o produto de Frobenius. Ele mede a soma dos produtos term a term das entradas das matrizes — é análogo ao produto escalar de vetores.
  • Fórmula: para A=(a_{ij}) e B=(b_{ij}) em V,
\langle A,B\rangle = \operatorname{tr}(A^{T}B)=\sum_{i=1}^{2}\sum_{j=1}^{2} a_{ij}b_{ij}.
  • Interpretação: se escrevemos as matrizes como vetores de 4 componentes (ordenando as entradas), este produto interno é o produto escalar usual. É linear em cada argumento (bilinear simétrico) e positivo definido.
Vou usar esse produto interno para definir W_{1}^{\perp}=\{X\in V:\langle X,Y\rangle=0\\ \text{para todo }Y\in W_1\}.

Passo 3

Caracterizando W_{2}=W_{1}^{\perp}.
  • Seja uma matriz genérica X=\begin{pmatrix}x_{11}&x_{12}\\[4pt] x_{21}&x_{22}\end{pmatrix}\in V.
  • Uma matriz genérica de W_1 é Y=\begin{pmatrix}0&a\\[4pt] b&0\end{pmatrix} com a,b\in\mathbb{R}.
  • Calcular \langle X,Y\rangle pelo produto de Frobenius:
\langle X,Y\rangle = x_{11}\cdot 0 + x_{12}\cdot a + x_{21}\cdot b + x_{22}\cdot 0 = x_{12}a + x_{21}b.
  • Condição para X\in W_1^\perp: \langle X,Y\rangle=0 para todo a,b. Isso significa que, variando a e b livremente, precisamos ter
x_{12}=0\quad\text{e}\quad x_{21}=0.
  • Portanto W_2=W_1^\perp é o conjunto das matrizes com entradas fora da diagonal nulas, ou seja, as matrizes diagonais:
W_{2}=\left\{\begin{pmatrix}x & 0\\[4pt] 0 & y\end{pmatrix};\\ x,y\in\mathbb{R}\right\}.
  • Comentário pedagógico: cada condição foi obtida isolando os coeficientes de a e b. Como a e b são independentes, cada coeficiente deve ser zero.]

Passo 4

Encontrando bases para W_{1} e W_{2}.
  • Para W_{1}: qualquer matriz em W_1 é \begin{pmatrix}0&a\\[4pt] b&0\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix}. Assim duas matrizes independentes que geram W_1 são
E_{1}=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\qquad E_{2}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix}.
Verificação rápida: são linearmente independentes (não existe \alpha,\beta não ambos nulos com \alpha E_1+\beta E_2=0) e geram todo W_1. Logo \{E_1,E_2\} é uma base de W_1.
  • Para W_{2}: qualquer matriz diagonal é x\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}. Então uma base natural é
F_{1}=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\qquad F_{2}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}.
Verificação: são linearmente independentes e geram W_2. Concluímos \dim W_1=2 e \dim W_2=2.]

Passo 5

Construindo bases ortonormais para W_1 e W_2 (com o produto de Frobenius).
  • Recordando: um conjunto é ortonormal se os vetores são mutuamente ortogonais e cada um tem norma 1, onde a norma é \|A\|=\sqrt{\langle A,A\rangle}.
  • Calcular normas e produtos internos entre os geradores escolhidos.
    • Para E_1=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix}:
    \langle E_1,E_1\rangle = 0^2+1^2+0^2+0^2 = 1 \quad\Rightarrow\quad \|E_1\|=1.
    • Para E_2=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix}:
    \langle E_2,E_2\rangle = 0^2+0^2+1^2+0^2 = 1 \quad\Rightarrow\quad \|E_2\|=1.
    • Produto interno \langle E_1,E_2\rangle = 0\cdot0 + 1\cdot0 + 0\cdot1 + 0\cdot0 = 0.
  • Conclusão para W_1: \{E_1,E_2\} é já uma base ortonormal de W_1.
  • Para W_2:
    • \langle F_1,F_1\rangle = 1,\\ \langle F_2,F_2\rangle = 1.
    • \langle F_1,F_2\rangle = 0.
  • Conclusão para W_2: \{F_1,F_2\} é uma base ortonormal de W_2.
  • Observação didática: Não foi preciso aplicar Gram–Schmidt porque as escolhas naturais já tinham norma 1 e eram ortogonais por ocuparem posições de entrada distintas.]

Passo 6

Verificando que V=W_{1}\oplus W_{2}.
  • Todo M=\begin{pmatrix}m_{11}&m_{12}\\[4pt] m_{21}&m_{22}\end{pmatrix}\in V pode ser escrito como soma de uma matriz diagonal (em W_2) e uma matriz com zeros na diagonal (em W_1):
M = \begin{pmatrix}m_{11}&0\\[4pt]0&m_{22}\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0&m_{12}\\[4pt] m_{21}&0\end{pmatrix}.
A primeira parcela está em W_2 e a segunda em W_1. Logo V=W_1+W_2 (soma geradora).
  • Interseção: se uma matriz pertence simultaneamente a W_1 e W_2, então ela é diagonal e tem zeros na diagonal, o que força todas as entradas a zero. Logo W_1\cap W_2=\{0\}.
  • Como W_1+W_2=V e W_1\cap W_2=\{0\}, temos soma direta V=W_1\oplus W_2.
  • Checagem de dimensões: \dim V=4 e \dim W_1+\dim W_2=2+2=4, consistente com soma direta.]

Passo 7

Base ortonormal para V a partir das bases ortonormais de W_1 e W_2.
  • Como W_1 e W_2 são ortogonais entre si (verificação: produto interno entre qualquer matriz diagonal e qualquer matriz com zeros na diagonal é zero — porque não compartilham posições não nulas), a união das bases ortonormais de W_1 e W_2 é uma base ortonormal de V.
  • Logo uma base ortonormal de V é a união
\left\{\,E_{1}=\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\\ E_{2}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix},\\ F_{1}=\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\\ F_{2}=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}\,\right\},
que são quatro matrizes mutuamente ortogonais de norma 1, isto é, uma base ortonormal de V.]

Resposta

a) W_{2}=\left\{\begin{pmatrix}x&0\\[4pt]0&y\end{pmatrix};\\ x,y\in\mathbb{R}\right\}.
b) Base de W_{1}: \displaystyle \left\{\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix}\right\}.\newline
Base de W_{2}: \displaystyle \left\{\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}\right\}.
c) Base ortonormal de W_{1}: \displaystyle \left\{\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix}\right\}.\newline
Base ortonormal de W_{2}: \displaystyle \left\{\begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}\right\}.
d) Sim, V=W_{1}\oplus W_{2}, pois toda matriz M se escreve unicamente como soma de uma matriz diagonal (em W_2) e de uma matriz com zeros na diagonal (em W_1), e W_1\cap W_2=\{0\}.
e) Base ortonormal de V obtida unindo as bases ortonormais de W_1 e W_2:
\left\{\begin{pmatrix}0&1\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]1&0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}1&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix},\\ \begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&1\end{pmatrix}\right\}.]

Exercícios relacionados