Questão-03. Faça o que se pede
Sejam
e
são subespaços vetoriais do espaço vetorial
e
.
Determine o menor e o maior valor possível para a
e para
.
Sejam
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi pedido):
-
. -
e são subespaços de . -
. -
.
O que o problema pede:
- Determinar o menor e o maior valor possível para
. - Determinar o menor e o maior valor possível para
.
Passo 2
Fórmula fundamental que vou usar e explicar: para quaisquer subespaços
e
vale
O que isso significa e por que é verdade (explicação passo a passo, sem pular etapas):
- Seja
. Existe uma base do subespaço com exatamente vetores; chame essa base de . - Podemos estender essa base a uma base de
. Ou seja, existem vetores tais que é uma base de . Como , temos . - Do mesmo modo, podemos estender a base de
a uma base de . Ou seja, existem vetores tais que é uma base de . Como , temos . - Considere o conjunto
Mostra-se (é um exercício padrão) que é uma base de : os vetores geram e são linearmente independentes. Portanto - Substituindo
e obtemos isto é,
Essa é a fórmula que vamos usar para relacionar as dimensões.
Passo 3
Usar desigualdades óbvias que ajudam a limitar
e
:
- Como
é um subespaço de e também de , vale No nosso caso, . Logo inicialmente sabemos apenas que - Como
e , vale Também, como é subespaço de , temos Assim inicialmente .
Passo 4
Aprimorar a desigualdade para
usando que o espaço ambiente tem dimensão
.
Da fórmula
Da fórmula
e sabendo que
, obtemos
Substituindo os valores numéricos:
Juntando com a desigualdade anterior
, concluímos que
Portanto o menor valor possível de
é
e o maior é
.
Observação rápida sobre por que
não pode ser
: como
, por contagem de dimensão eles forçosamente têm interseção não-trivial; isto é, deve haver pelo menos um vetor não-nulo em comum.
Passo 5
Determinar os extremos de
usando a fórmula e os extremos da interseção.
Da fórmula
Da fórmula
- Para obter
máximo, escolhemos mínimo. Como , temos - Para obter
mínimo, escolhemos máximo. Como , temos
Isso coincide com as desigualdades óbvias encontradas antes. Assim
com extremos atingíveis que acabamos de calcular.
Passo 6
Vou dar exemplos concretos em
(usando a base padrão
) que mostram que os extremos são realmente atingíveis.
Exemplo que atinge
e
:
- Tome
Aqui e . A interseção é , logo . O espaço gerado por é , logo .
Exemplo que atinge
e
:
- Tome
Aqui , então e tem dimensão .
Esses exemplos mostram que os valores extremos que encontramos são realmente alcançáveis.
Passo 7
Resumo intuitivo curtinho e um empurrão final: como
tem dimensão
e
dimensão
em um espaço de dimensão
, eles não podem ser “completamente independentes” (a soma das dimensões é
), então obrigatoriamente têm interseção de dimensão pelo menos
. Se a interseção for mínima (
) a soma ocupa todo
; se a interseção for máxima (
) então um subespaço está contido no outro e a soma tem dimensão
. Força — você já tem tudo para explicar e justificar isso na prova!