Questão-04. Seja V=R^{4}, S=\{(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,-1,2,1),(0,1,-1,0)\}.
a) Encontre S^{\perp}
b) Encontre uma base e respectiva dimensão para S
c) Encontre uma base e a respectiva dimensão para S^{\perp}

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^4 e o conjunto de quatro vetores
S=\{(1,0,1,1),\;(1,1,0,1),\;(1,-1,2,1),\;(0,1,-1,0)\}.
O que o problema pede:
  • (a) Encontrar S^{\perp}, ou seja, o subespaço de todos os vetores de \mathbb{R}^4 que são ortogonais a todos os vetores de S.
  • (b) Encontrar uma base de S e a dimensão de S.
  • (c) Encontrar uma base de S^{\perp} e a dimensão de S^{\perp}.
Informações relevantes dadas:
  • Os quatro vetores explicitados em S (os colocarei como v_1,v_2,v_3,v_4 quando necessário).
  • Trabalhamos em \mathbb{R}^4 com o produto interno padrão (produto escalar usual).

Passo 2

Definição e estratégia para (a): S^{\perp} é o conjunto de todos os vetores x=(x_1,x_2,x_3,x_4)\in\mathbb{R}^4 tais que x é ortogonal a cada vetor de S. Ortogonal significa produto escalar zero. Para cada vetor v\in S temos a equação x\cdot v=0. Assim vou escrever as quatro equações lineares homogêneas correspondentes e resolver o sistema para encontrar todos os x.
Escrevendo as equações (peguei os vetores do enunciado):
\begin{aligned} v_1=(1,0,1,1)&\Longrightarrow x\cdot v_1 = x_1 + 0\cdot x_2 + x_3 + x_4 = 0,\\\ v_2=(1,1,0,1)&\Longrightarrow x\cdot v_2 = x_1 + x_2 + 0\cdot x_3 + x_4 = 0,\\\ v_3=(1,-1,2,1)&\Longrightarrow x\cdot v_3 = x_1 - x_2 + 2x_3 + x_4 = 0,\\\ v_4=(0,1,-1,0)&\Longrightarrow x\cdot v_4 = 0\cdot x_1 + x_2 - x_3 + 0\cdot x_4 = 0. \end{aligned}

Passo 3

Resolver o sistema obtido:
Das equações acima temos o sistema
\begin{cases} x_1 + x_3 + x_4 = 0,\\[4pt] x_1 + x_2 + x_4 = 0,\\[4pt] x_1 - x_2 + 2x_3 + x_4 = 0,\\[4pt] x_2 - x_3 = 0. \end{cases}
A quarta equação dá imediatamente
x_2 = x_3.
Substituindo x_2=x_3 nas outras três equações, por exemplo na segunda:
x_1 + x_3 + x_4 = 0,
que é exatamente a primeira equação; a terceira também se reduz à mesma equação quando x_2=x_3. Ou seja, após usar x_2=x_3 sobra apenas a equação
x_1 + x_3 + x_4 = 0.
Portanto o sistema efetivamente tem duas equações independentes (a quarta e a uma que liga x_1,x_3,x_4), em quatro incógnitas. Logo há dois graus de liberdade.
Escolho parâmetros para as variáveis livres: defina \;t:=x_3\; e \;s:=x_4. Da equação x_1 + x_3 + x_4=0 vem
x_1 = -x_3 - x_4 = -t - s,
e x_2 = x_3 = t. Assim
x = (x_1,x_2,x_3,x_4) = (-t-s,\;t,\;t,\;s).
Escrevendo como combinação linear dos parâmetros:
x = t(-1,1,1,0) + s(-1,0,0,1).
Conclusão imediata: todo vetor em S^{\perp} é combinação linear de (-1,1,1,0) e (-1,0,0,1). Esses dois vetores são linearmente independentes (não múltiplos um do outro), logo formam uma base de S^{\perp}. Portanto \dim S^{\perp} = 2.]

Passo 4

Agora (b): encontrar uma base de S e sua dimensão. Vou verificar dependências lineares entre os vetores dados. Coloco-os como linhas (ou colunas) e reduzo — aqui faço operações elementares de linha com clareza.
Vetores:
v_1=(1,0,1,1),\quad v_2=(1,1,0,1),\quad v_3=(1,-1,2,1),\quad v_4=(0,1,-1,0).
Faço a operação v_2 \leftarrow v_2 - v_1 e v_3 \leftarrow v_3 - v_1:
v_2 - v_1 = (1,1,0,1) - (1,0,1,1) = (0,1,-1,0),
v_3 - v_1 = (1,-1,2,1) - (1,0,1,1) = (0,-1,1,0).
Note que v_2 - v_1 = (0,1,-1,0) é exatamente v_4. Também v_3 - v_1 = -(0,1,-1,0) = -v_4. Assim
v_2 = v_1 + v_4,\qquad v_3 = v_1 - v_4.
Portanto v_2 e v_3 são combinações lineares de v_1 e v_4. Isso mostra que os quatro vetores têm apenas dois vetores linearmente independentes: por exemplo v_1 e v_4. Logo uma base de S é
\{(1,0,1,1),\,(0,1,-1,0)\},
e \dim S = 2.

Passo 5

Verificação rápida de consistência (cheiro de certeza): as dimensões estão coerentes com a identidade em espaços euclidianos finitos:
\dim S + \dim S^{\perp} = 2 + 2 = 4 = \dim\mathbb{R}^4,
o que confirma que os resultados são plausíveis.

Resposta

S^{\perp}=\operatorname{span}\{(-1,1,1,0),\;(-1,0,0,1)\}
Base de S: \{(1,0,1,1),\;(0,1,-1,0)\}, \dim S=2
Base de S^{\perp}: \{(-1,1,1,0),\;(-1,0,0,1)\}, \dim S^{\perp}=2

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