Questão 05: Verifique a estabilidade do sistema contínuo no tempo a partir do Critério de RouthHurwitz. Caso o sistema seja instável, indique quantos polos instáveis o sistema possui.
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Passo 1
Beleza, manda ver: a gente tem o polinômio
e precisa usar o Critério de Routh–Hurwitz pra ver se o sistema é estável. Se não for, quantos polos estão no semiplano direito (RHP). Para isso vamos montar a tabela de Routh, explicando cada coisinha.
Passo 2
Primeiro, anota os coeficientes em ordem decrescente de potência de
:
linha : 1, 2, 3
linha : 0, 7, 8
Repare que o coeficiente de é zero, e isso dá “problema” ao calcular a tabela. Aí a gente substitui esse zero por um
(um número pequeno e positivo) só para poder seguir a conta e checar sinais.
linha
linha
Repare que o coeficiente de
A forma geral da tabela é:
Passo 3
Calculando a linha
com a regra
Como
é “quase zero”,
e
, ambos ficam NEGATIVOS (pois
e
dominam). Então a linha
é
Passo 4
Agora a linha
:
Como
e
é minúsculo, dá
e
.
Em seguida,
:
Embora
e
, se você faz as contas direitinho (substituindo os aproximados de
) vê que o numerador dá positivo, logo
.
Por fim,
Passo 5
Olha só os sinais na primeira coluna (de cima pra baixo):
(s^5),
(s^4),
(s^3),
(s^2),
(s^1),
(s^0).
Contamos as trocas de sinal:
de pra
= 1 troca, de
pra
= 2ª troca. Não tem mais trocas depois.
Contamos as trocas de sinal:
de
Pela regra de Routh–Hurwitz, o número de polos no RHP é igual ao número de trocas de sinal na primeira coluna, ou seja, 2.
Resposta
O sistema é instável e possui 2 polos instáveis no semiplano direito.