Questão 05: Verifique a estabilidade do sistema contínuo no tempo a partir do Critério de RouthHurwitz. Caso o sistema seja instável, indique quantos polos instáveis o sistema possui.
  • De

Passo 1

Beleza, manda ver: a gente tem o polinômio
De
e precisa usar o Critério de Routh–Hurwitz pra ver se o sistema é estável. Se não for, quantos polos estão no semiplano direito (RHP). Para isso vamos montar a tabela de Routh, explicando cada coisinha.

Passo 2

Primeiro, anota os coeficientes em ordem decrescente de potência de c|ccc s^5 & 1 & 2 & 3 [6pt] s^4 & varepsilon & 7 & 8 [6pt] s^3 & b1 & b2 & [6pt] s^2 & c1 & c2 & [6pt] s^1 & d1 & & [6pt] s^0 & e1 & & :
linha : 1, 2, 3
linha : 0, 7, 8
Repare que o coeficiente de é zero, e isso dá “problema” ao calcular a tabela. Aí a gente substitui esse zero por um (um número pequeno e positivo) só para poder seguir a conta e checar sinais.
A forma geral da tabela é:

Passo 3

Calculando a linha b1 = varepsiloncdot 2 - 1cdot 7varepsilon ,, b2 = varepsiloncdot 3 - 1cdot 8varepsilon com a regra
s^3: b1<0, b2<0
Como é “quase zero”, e , ambos ficam NEGATIVOS (pois e dominam). Então a linha é

Passo 4

Agora a linha c1 = b1cdot 7 - varepsiloncdot b2b1, c2 = b1cdot 8 - varepsiloncdot 0b1 :
d1 = c1cdot b2 - b1cdot c2c1
Como s^0: e1 = 8 > 0 e é minúsculo, dá e .
Em seguida, :
Embora e , se você faz as contas direitinho (substituindo os aproximados de ) vê que o numerador dá positivo, logo .
Por fim,

Passo 5

Olha só os sinais na primeira coluna (de cima pra baixo):
(s^5), (s^4), (s^3), (s^2), (s^1), (s^0).
Contamos as trocas de sinal:
de pra = 1 troca, de pra = 2ª troca. Não tem mais trocas depois.
Pela regra de Routh–Hurwitz, o número de polos no RHP é igual ao número de trocas de sinal na primeira coluna, ou seja, 2.

Resposta

O sistema é instável e possui 2 polos instáveis no semiplano direito.

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