Questão-06. Considere o grupo
são cíclicos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificarmos se os grupos
,
e
são cíclicos. Isso está relacionado com a teoria de grupos multiplicativos modulo
. Um grupo é cíclico se ele tem um elemento gerador, ou seja, um elemento cuja potência gera todo o grupo. Para resolver isso, vamos identificar os elementos de cada grupo e verificar se existe um gerador.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Esse grupo consiste nos números menores que
que são coprimos com
(ou seja, que têm máximo divisor comum igual a 1 com
). Vamos listar os elementos para cada caso:
-
Para
: Os números menores que 4 e coprimos com 4 são 1 e 3. Então, . -
Para
: Os números menores que 8 e coprimos com 8 são 1, 3, 5 e 7. Então, . -
Para
: Os números menores que 9 e coprimos com 9 são 1, 2, 4, 5, 7 e 8. Então, .
Passo 3
Agora, vamos verificar se cada um desses grupos é cíclico. Para isso, precisamos encontrar se existe um elemento no grupo que, ao ser elevado a potências, gera todos os elementos do grupo.
Começando com
:
- Elemento 1:
. Não gera o 3, então não é gerador. - Elemento 3:
, . Assim, o elemento 3 gera o grupo .
Como encontramos um gerador,
é cíclico.
Passo 4
Vamos para
:
Vamos calcular as potências de cada elemento:
- Elemento 1: Sempre gera apenas 1.
- Elemento 3:
-
- Elemento 5:
-
- Elemento 7:
-
Nenhum desses elementos gera todos os 4 elementos do grupo. Todos têm ordem 2, ou seja, voltam para 1 rapidamente. Portanto,
não é cíclico.
Passo 5
Por fim, vamos analisar
:
Vamos verificar se existe um elemento que gera todos os 6 elementos:
- Elemento 2:
-
O elemento 2 gera todos os elementos do grupo, então
é cíclico.