Questão-06. Considere o grupo Zn^times=bara in Zn ; m d c(a, n)=1 Verifique se Z4^times, Z8^times e Z9^times são cíclicos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para verificarmos se os grupos Z4^times, Z8^times e Z9^times são cíclicos. Isso está relacionado com a teoria de grupos multiplicativos modulo n. Um grupo é cíclico se ele tem um elemento gerador, ou seja, um elemento cuja potência gera todo o grupo. Para resolver isso, vamos identificar os elementos de cada grupo e verificar se existe um gerador.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é Zn^times. Esse grupo consiste nos números menores que n que são coprimos com n (ou seja, que têm máximo divisor comum igual a 1 com n). Vamos listar os elementos para cada caso:
  • Para n = 4: Os números menores que 4 e coprimos com 4 são 1 e 3. Então, Z4^times = 1, 3.
  • Para n = 8: Os números menores que 8 e coprimos com 8 são 1, 3, 5 e 7. Então, Z8^times = 1, 3, 5, 7.
  • Para n = 9: Os números menores que 9 e coprimos com 9 são 1, 2, 4, 5, 7 e 8. Então, Z9^times = 1, 2, 4, 5, 7, 8.

Passo 3

Agora, vamos verificar se cada um desses grupos é cíclico. Para isso, precisamos encontrar se existe um elemento no grupo que, ao ser elevado a potências, gera todos os elementos do grupo.
Começando com Z4^times:
  • Elemento 1: 1^1 = 1. Não gera o 3, então não é gerador.
  • Elemento 3: 3^1 = 3, 3^2 = 9 equiv 1 mod 4. Assim, o elemento 3 gera o grupo 1, 3.
Como encontramos um gerador, Z4^times é cíclico.

Passo 4

Vamos para Z8^times:
Vamos calcular as potências de cada elemento:
  • Elemento 1: Sempre gera apenas 1.
  • Elemento 3:
    • 3^1 = 3
    • 3^2 = 9 equiv 1 mod 8
  • Elemento 5:
    • 5^1 = 5
    • 5^2 = 25 equiv 1 mod 8
  • Elemento 7:
    • 7^1 = 7
    • 7^2 = 49 equiv 1 mod 8
Nenhum desses elementos gera todos os 4 elementos do grupo. Todos têm ordem 2, ou seja, voltam para 1 rapidamente. Portanto, Z8^times não é cíclico.

Passo 5

Por fim, vamos analisar Z9^times:
Vamos verificar se existe um elemento que gera todos os 6 elementos:
  • Elemento 2:
    • 2^1 = 2
    • 2^2 = 4
    • 2^3 = 8
    • 2^4 = 16 equiv 7 mod 9
    • 2^5 = 32 equiv 5 mod 9
    • 2^6 = 64 equiv 1 mod 9
O elemento 2 gera todos os elementos do grupo, então Z9^times é cíclico.

Resposta

Z4^times e Z9^times são grupos cíclicos, enquanto Z8^times não é cíclico.

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