Sejam e o polinômio de Taylor de ordem 1 de ao redor de .
Mostre que para todo ,
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos a função $ f(x, y) = e^{x + 5y} $ e queremos encontrar o polinômio de Taylor de primeira ordem, chamado $ P_{1}(x, y) $, em torno do ponto f(x, y) = e^x + 5y . Depois, precisamos provar que, para todo P1(x, y) tal que (0, 0), a diferença entre $ e^{x + 5y} $ e $ P_{1}(x, y) $ é menor que (x, y).
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre polinômios de Taylor e como aproximar funções usando esses polinômios. Também vamos usar algumas propriedades de funções exponenciais e cálculo de derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o polinômio de Taylor de primeira ordem $ P_{1}(x, y) $ para a função $ f(x, y) = e^{x + 5y} $ em torno do ponto P1(x, y) .
O polinômio de Taylor de primeira ordem para uma função de duas variáveis é dado por:
f(x, y) = e^x + 5y
onde $ f_{x} $ e $ f_{y} $ são as derivadas parciais de $ f $ em relação a $ x $ e $ y $, respectivamente.
Vamos calcular cada termo:
Valor da função em (0,0):
(0, 0)
Derivada parcial em relação a $ x $:
P1(x, y) = f(0, 0) + fx(0, 0) cdot x + fy(0, 0) cdot y
Então,
fx
Derivada parcial em relação a $ y $:
fy
Então,
f
Agora, substituindo na expressão do polinômio de Taylor:
x
Passo 3
Agora que temos o polinômio de Taylor de primeira ordem $ P_{1}(x, y) = 1 + x + 5y $, vamos analisar a diferença entre $ f(x, y) $ e $ P_{1}(x, y) $, que é $ e^{x + 5y} - (1 + x + 5y) $.
Queremos mostrar que:
P1(x, y) = 1 + x + 5y
Para isso, podemos usar o resto da aproximação de Taylor. Sabemos que para a função exponencial, o erro ao aproximar por um polinômio de primeira ordem é controlado pelo termo de segunda ordem e superiores.
Mais especificamente, temos a expansão de Taylor para $ e^{z} $ em torno de $ z = 0 $:
f(x, y)
Então, a diferença entre $ e^{z} $ e o polinômio de Taylor de primeira ordem $ 1 + z $ é:
P1(x, y)
Em termos de valor absoluto, isso significa:
e^x + 5y - (1 + x + 5y)
No nosso caso, $ z = x + 5y $. Então, vamos substituir e ajustar a desigualdade para chegar ao resultado desejado.
Passo 4
Vamos aplicar o que aprendemos no passo anterior à nossa situação específica.
Temos $ z = x + 5y $ e queremos estimar $ \left| e^{z} - (1 + z) \right| $.
Sabemos que:
z = x + 5y
Mas queremos mostrar que:
| e^z - (1 + z) |
onde $ z = x + 5y < 1 $.
Para garantir que $ \frac{z^{2}}{2} e^{z} \leq \frac{3}{2} z^{2} $, precisamos que:
| e^z - (1 + z) | <= z^22 e^z
Sabemos que $ e^{1} = e \approx 2,718 < 3 $. Como $ z < 1 $, $ e^{z} $ aumenta com $ z $, mas sempre fica abaixo de 3 para $ z < 1 $.
Portanto:
| e^z - (1 + z) | < 32 z^2
Isso nos dá:
z = x + 5y < 1
Substituindo $ z = x + 5y $, temos:
z^22 e^z <= 32 z^2
Resposta
Portanto, mostramos que para todo (x, y) com x + 5y < 1,