Refaça o item b. do Exercício 2 com o polinômio de Taylor
de ordem 2 ao redor de
.
Sejam
e
o polinômio de Taylor de ordem 2 de
ao redor de
.
Avalie o erro que se comete na aproximação
para
e
.
Sejam
Avalie o erro que se comete na aproximação
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x, y) = e^{x + 5y} $ e queremos encontrar o polinômio de Taylor de ordem 2, $ P_2(x, y) $, em torno do ponto $ (0, 0) $. Depois, vamos avaliar o erro dessa aproximação quando $ x = 0,01 $ e $ y = 0,01 $. Para isso, precisamos entender como construir o polinômio de Taylor e como calcular o erro da aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o polinômio de Taylor de ordem 2 para funções de duas variáveis. Ele é uma aproximação da função perto de um ponto, nesse caso $ (0, 0) $, e inclui termos até o segundo grau. A fórmula geral é:
Onde:
- $ f_x $ e $ f_y $ são as derivadas parciais de primeira ordem.
- $ f_{xx} $, $ f_{xy} $ e $ f_{yy} $ são as derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 3
Vamos calcular cada uma dessas derivadas para $ f(x, y) = e^{x + 5y} $:
-
Primeiras derivadas:
-
Segundas derivadas:
Agora, avaliamos todas essas derivadas no ponto $ (0, 0) $:
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:
Simplificando:
Passo 5
Para avaliar o erro na aproximação $ e^{x + 5y} \approx P_2(x, y) $ em $ x = 0,01 $ e $ y = 0,01 $, vamos calcular o valor exato da função e o valor do polinômio, depois encontrar a diferença entre eles.
-
Valor exato:
-
Valor do polinômio:
-
Erro:
Resposta
O erro cometido na aproximação é de aproximadamente $ 0,0000365 $.