Refaça o item b. do Exercício 2 com o polinômio de Taylor P2(x, y) de ordem 2 ao redor de (0,0).
Sejam f(x)=e^x+5 y e P2(x, y) o polinômio de Taylor de ordem 2 de f ao redor de (0,0).
Avalie o erro que se comete na aproximação
e^x+5 y approx P2(x, y)
para x=0,01 e y=0,01.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função $ f(x, y) = e^{x + 5y} $ e queremos encontrar o polinômio de Taylor de ordem 2, $ P_2(x, y) $, em torno do ponto $ (0, 0) $. Depois, vamos avaliar o erro dessa aproximação quando $ x = 0,01 $ e $ y = 0,01 $. Para isso, precisamos entender como construir o polinômio de Taylor e como calcular o erro da aproximação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o polinômio de Taylor de ordem 2 para funções de duas variáveis. Ele é uma aproximação da função perto de um ponto, nesse caso $ (0, 0) $, e inclui termos até o segundo grau. A fórmula geral é:
(0, 0)
Onde:
  • $ f_x $ e $ f_y $ são as derivadas parciais de primeira ordem.
  • $ f_{xx} $, $ f_{xy} $ e $ f_{yy} $ são as derivadas parciais de segunda ordem.

Passo 3

Vamos calcular cada uma dessas derivadas para $ f(x, y) = e^{x + 5y} $:
  1. Primeiras derivadas:
    f(x, y) = e^x + 5y
    fx = partialpartial x e^x + 5y = e^x + 5y
  2. Segundas derivadas:
    fy = partialpartial y e^x + 5y = 5e^x + 5y
    fxx = partialpartial x fx = e^x + 5y
    fxy = partialpartial y fx = 5e^x + 5y
Agora, avaliamos todas essas derivadas no ponto $ (0, 0) $:
fyy = partialpartial y fy = 25e^x + 5y
(0, 0)
f(0,0) = e^0 + 0 = 1
fx(0,0) = 1
fy(0,0) = 5
fxx(0,0) = 1

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:
P2(x, y) = 1 + (1)x + (5)y + 12(1x^2 + 2 cdot 5xy + 25y^2)
Simplificando:
P2(x, y) = 1 + x + 5y + 12(x^2 + 10xy + 25y^2)
P2(x, y) = 1 + x + 5y + x^22 + 5xy + 25y^22

Passo 5

Para avaliar o erro na aproximação $ e^{x + 5y} \approx P_2(x, y) $ em $ x = 0,01 $ e $ y = 0,01 $, vamos calcular o valor exato da função e o valor do polinômio, depois encontrar a diferença entre eles.
  1. Valor exato:
    e^x + 5y approx P2(x, y)
  2. Valor do polinômio:
    x = 0,01
    y = 0,01
    e^0,01 + 5 cdot 0,01 = e^0,06 approx 1,0618365465
  3. Erro:
    P2(0,01, 0,01) = 1 + 0,01 + 5 cdot 0,01 + (0,01)^22 + 5 cdot 0,01 cdot 0,01 + 25 cdot (0,01)^22

Resposta

O erro cometido na aproximação é de aproximadamente $ 0,0000365 $.

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