Questão-06. Considere o sistema linear: \left\{\begin{array}{l}x+y+c z=0 \\\ x+2 y+b z=0 \\\ x+2 y+z=a\end{array}\right.
Determine os valores dos parâmetros a, b, c para que o sistema linear seja
a) S.I.
b) S.P.D.
c) S.P.I.
Se \det(A)\neq0 então A é invertível e o sistema tem uma única solução (S.P.D.). Se \det(A)=0 então pode ser inconsistente (S.I.) ou ter infinitas soluções (S.P.I.), e aí é preciso comparar o posto da matriz dos coeficientes com o posto da matriz aumentada.
Vou calcular \det(A). Primeiro faço operações lineares fáceis (subtrair a primeira linha das outras, que não mudam o valor do determinante):
Se [,1-b\neq0), isto é, se \,b\neq1, então \det(A)\neq0 e o sistema tem solução única para qualquer a e qualquer c. Portanto, quando b\neq1 o sistema é S.P.D.
Se \,b=1 então \det(A)=0 e devemos analisar consistência. Substituindo b=1 nas equações, o sistema fica
Note que as segunda e terceira equações têm os mesmos coeficientes na incógnita (ambas são x+2y+z=\dots\]). Subtraindo a segunda da terceira obtemos \(0=a. Logo:
Se a\neq0 com b=1, a última igualdade 0=a é falsa, o sistema é inconsistente (S.I.).
Se a=0 com b=1, as equações 2 e 3 coincidem e não há contradição; o sistema é consistente com posto menor que 3, portanto terá infinitas soluções (S.P.I.). Vou mostrar explicitamente como aparece a família de soluções.]
Passo 4
Caso b=1\) e \(a=0\): resolvendo para expor que há infinitas soluções (faço tudo para que dê pra reproduzir na prova).
As equações são
\[\begin{cases} x+y+c z=0,\\[4pt] x+2y+z=0. \end{cases}
(segunda e terceira são iguais). Tomamos z\] como parâmetro livre, digamos \(z=t. Da segunda equação:
ou seja, há uma infinitude de soluções parametrizada por t. Isso confirma que para b=1 e a=0 o sistema é S.P.I. (grau de liberdade igual a 1 na maioria dos casos; se as duas equações fossem também dependentes haveria ainda mais liberdade, mas aqui normalmente o posto é 2).]
Passo 5
Resumo das conclusões (explicação rápida de por que não há outros casos):
Se b\neq1 então \det(A)=1-b\neq0 e o sistema tem solução única para qualquer a,c.
Se b=1 e a\neq0 há contradição entre a segunda e a terceira equações, logo o sistema é inconsistente (S.I.).
Se b=1 e a=0 o sistema é consistente com posto <3 e, portanto, tem infinitas soluções (S.P.I.) para qualquer c.
Resposta
S.I.: b=1 e a\neq0 (qualquer c).
S.P.D.: b\neq1 (quaisquer a,c).
S.P.I.: b=1 e a=0 (qualquer c).