Questão-06. Considere o sistema linear: \left\{\begin{array}{l}x+y+c z=0 \\\ x+2 y+b z=0 \\\ x+2 y+z=a\end{array}\right.
Determine os valores dos parâmetros a, b, c para que o sistema linear seja
a) S.I.
b) S.P.D.
c) S.P.I.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} x+y+c z=0,\\[4pt] x+2y+b z=0,\\[4pt] x+2y+z=a, \end{cases}
com parâmetros \,a,b,c. As perguntas são claras:
  • Para quais valores de a,b,c o sistema é S.I. (inconsistente)?
  • Para quais valores o sistema é S.P.D. (solução única)?
  • Para quais valores o sistema é S.P.I. (infinitas soluções)?
Listei as equações e o que se pede; a resolução começa no próximo passo.]

Passo 2

Conceito útil (explicação curta e prática): para um sistema linear com 3 incógnitas e 3 equações, uma forma prática é olhar a matriz dos coeficientes
A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & c\\[4pt] 1 & 2 & b\\[4pt] 1 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Se \det(A)\neq0 então A é invertível e o sistema tem uma única solução (S.P.D.). Se \det(A)=0 então pode ser inconsistente (S.I.) ou ter infinitas soluções (S.P.I.), e aí é preciso comparar o posto da matriz dos coeficientes com o posto da matriz aumentada.
Vou calcular \det(A). Primeiro faço operações lineares fáceis (subtrair a primeira linha das outras, que não mudam o valor do determinante):
\begin{pmatrix} 1 & 1 & c\\[4pt] 1 & 2 & b\\[4pt] 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & c\\[4pt] 0 & 1 & b-c\\[4pt] 0 & 1 & 1-c \end{pmatrix}.
Agora expandindo pelo primeiro elemento da primeira coluna (ou calculando o determinante do bloco 2\times2 que sobra), obtém-se
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & b-c\\[4pt]1 & 1-c\end{pmatrix} =1\cdot\big(1\cdot(1-c)-(b-c)\cdot1\big) =1-c-(b-c)=1-b.]

Passo 3

Interpretação do resultado do determinante:
  • Se [,1-b\neq0), isto é, se \,b\neq1, então \det(A)\neq0 e o sistema tem solução única para qualquer a e qualquer c. Portanto, quando b\neq1 o sistema é S.P.D.
  • Se \,b=1 então \det(A)=0 e devemos analisar consistência. Substituindo b=1 nas equações, o sistema fica
\begin{cases} x+y+c z=0,\\[4pt] x+2y+z=0,\\[4pt] x+2y+z=a. \end{cases}
Note que as segunda e terceira equações têm os mesmos coeficientes na incógnita (ambas são x+2y+z=\dots\]). Subtraindo a segunda da terceira obtemos \(0=a. Logo:
  • Se a\neq0 com b=1, a última igualdade 0=a é falsa, o sistema é inconsistente (S.I.).
  • Se a=0 com b=1, as equações 2 e 3 coincidem e não há contradição; o sistema é consistente com posto menor que 3, portanto terá infinitas soluções (S.P.I.). Vou mostrar explicitamente como aparece a família de soluções.]

Passo 4

Caso b=1\) e \(a=0\): resolvendo para expor que há infinitas soluções (faço tudo para que dê pra reproduzir na prova). As equações são \[\begin{cases} x+y+c z=0,\\[4pt] x+2y+z=0. \end{cases}
(segunda e terceira são iguais). Tomamos z\] como parâmetro livre, digamos \(z=t. Da segunda equação:
x+2y+t=0\quad\Longrightarrow\quad x=-2y-t.
Substituindo na primeira:
(-2y-t)+y+c t=0\quad\Longrightarrow\quad -y+(c-1)t=0\quad\Longrightarrow\quad y=(c-1)t.
Então
x=-2(c-1)t-t=(1-2c)t.
Portanto a solução geral é
(x,y,z)=t\big(1-2c,\;c-1,\;1\big),\qquad t\in\mathbb{R},
ou seja, há uma infinitude de soluções parametrizada por t. Isso confirma que para b=1 e a=0 o sistema é S.P.I. (grau de liberdade igual a 1 na maioria dos casos; se as duas equações fossem também dependentes haveria ainda mais liberdade, mas aqui normalmente o posto é 2).]

Passo 5

Resumo das conclusões (explicação rápida de por que não há outros casos):
  • Se b\neq1 então \det(A)=1-b\neq0 e o sistema tem solução única para qualquer a,c.
  • Se b=1 e a\neq0 há contradição entre a segunda e a terceira equações, logo o sistema é inconsistente (S.I.).
  • Se b=1 e a=0 o sistema é consistente com posto <3 e, portanto, tem infinitas soluções (S.P.I.) para qualquer c.

Resposta

S.I.: b=1 e a\neq0 (qualquer c).
S.P.D.: b\neq1 (quaisquer a,c).
S.P.I.: b=1 e a=0 (qualquer c).

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