Questão 06 -

Um objeto colocado em frente a um espelho esférico côncavo tem sua imagem conjugada real e de mesma altura que o objeto. Contudo, quando o objeto é movido para uma distância D de onde se encontrava anteriormente, a altura de sua imagem é reduzida por um fator \eta(\eta> 1). A distância focal f do espelho vale:
a) f=\frac{D}{\eta}.
b) f=\frac{D}{\eta+1}.
c) f=\frac{D}{\eta-1}.
d) f=\frac{D}{\eta^{2}-1}.
e) f=\frac{\eta D}{\eta^{2}-1}.

Passo 1

O enunciado fala de um espelho esférico côncavo com distância focal f. Inicialmente o objeto forma uma imagem real de mesma altura que ele próprio. Depois o objeto é afastado de D e a nova imagem fica reduzida por um fator \eta>1. Para resolver, vamos usar a fórmula do espelho
\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{f}
e a definição de ampliação em módulo
|\!m|=\frac{q}{p}\,.

Passo 2

No primeiro caso a altura da imagem é igual à do objeto, ou seja |m_1|=1. Como |m_1|=q_1/p_1, isso dá
q_1=p_1.
Substituindo na equação do espelho,
\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_1}=\frac{1}{f} \quad\Longrightarrow\quad \frac{2}{p_1}=\frac{1}{f} \quad\Longrightarrow\quad p_1=2f
e também q_1=2f.

Passo 3

No segundo caso o objeto fica a uma distância
p_2 = p_1 + D = 2f + D
e a imagem tem ampliação em módulo reduzida a 1/\eta, ou seja
|\!m_2|=\frac{q_2}{p_2}=\frac{1}{\eta} \quad\Longrightarrow\quad q_2=\frac{p_2}{\eta}.

Passo 4

Aplicando de novo a fórmula do espelho para p_2 e q_2,
\frac{1}{p_2} + \frac{1}{q_2} = \frac{1}{f} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{p_2} + \frac{\eta}{p_2} = \frac{1}{f} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1+\eta}{p_2} = \frac{1}{f} \quad\Longrightarrow\quad p_2=(\eta+1)\,f.

Passo 5

Mas também sabíamos que p_2=2f+D. Igualando as duas expressões para p_2:
(\eta+1)\,f = 2f + D \quad\Longrightarrow\quad D = (\eta+1)f - 2f = (\eta-1)f \quad\Longrightarrow\quad f = \frac{D}{\eta - 1}.

Resposta

c) f = \dfrac{D}{\eta - 1}

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