Questão 06: Responda verdadeiro ou falso e justifique.
  1. A^k=0 para todo inteiro positivo k >= 2, então A=0.
Solução: Falso. Contra-exemplo: A=[cc1 & -1 1 & -1]
2) A^k=0 para algum inteiro positivo k, então sumi ai i=0.
Solução: Verdadeiro. Uma matriz A tal que A^k=0 para algum inteiro k é chamada nilpotente. Veja que qualquer potência de A possui os mesmos autovetores de A e, como autovalores, lambda(A)i^k, onde lambda(A)i: i=1, ldots, n são os n autovalores de A. Então temos que para algum x (autovetor não nulo de A ): 0=A^k x=lambdai(A)^k x. Portanto, todos os autovalores de A^k são todos nulos, o polinômio característico de A^k e de A é lambda^k. Em resumo, os autovalores de A são todos nulos. Logo, tr(A)=sumi=1^n lambdai(A)=0.
3) Se sumi ai i=0, então |A|=0 (determinante de A é zero).
Solução: Falso. Contra exemplo: considere a matriz A=[cc1 & 0 0 & -1] cujo determinante é -1 e autovalores são 1,-1.
4) Se A, B são similares, det(A)=det(B).
Solução: Verdadeiro, pois os seus autovalores são iguais e temos que a multiplicação dos autovalores é igual ao determinante da matriz.
5) Se A, B são similares, então as duas matrizes possuem os mesmos autovalores.
Solução: Verdadeiro, veja prova no slide 63 (fundamentos de álgebra linear).
6) Se A, B possuem os mesmos autovalores, então são similares.
Solução: Falso. Duas matrizes podem ter o mesmo conjunto de autovalores, mas com diferentes multiplicidades e portanto são diferentes. Exemplo: I2 e I3. Recorde-se de que para que duas matrizes sejam similares, deve existir uma matriz C, que possua inversa, tal que A=C B C^-1. Não há uma transformação similar para I2, I3 pois não existe uma C quadrada que faça a transformação similar.
7) Se A, B possuem o mesmo polinômio característico, então possuem os mesmos autovalores.
Solução: Verdadeiro. As raízes do polinômio característico são os autovalores destas matrizes.
8) Se A, B possuem os mesmos autovalores, então possuem o mesmo polinômio característico.
Solução: Falso. A multiplicidade algébrica de um mesmo autovalor pode ser diferente, resultando em polinômios diferentes.
9) diag1,2, ldots, n é similar a diagn, n-1, ldots, 1 (se verdadeira, encontre a matriz B e sua inversa que garantem a similaridade).
Verdadeiro. A matriz de permutação P associada a pi=(n, n-1, n- 2, ldots, 1). A transformação é P(diag1,2, ldots, n) P^T=diagn, n-1, ldots, 1. Recorde-se de que a inversa de uma matriz de permutação é sua transposta.
10) Se A possui autovalores repetidos, A é não diagonalizável.
Solução: Falso, pois depende da multiplicidade geométrica dos seus autovetores.
11) Se A é unitariamente diagonalizável, então A é normal.
Solução: Verdadeira. A matriz A é uma matriz normal se e somente se A A^T=A^T A. Portanto, seus autovalores são ortogonais e a matriz é unitariamente diagonalizável. Uma demonstração elegante será apresentada quando estudarmos fatoração SVD.
12) Se A possui r autovalores não nulos, então rank(A) >= r.
Verdadeiro. O número de autovalores não nulos, sem contar a multiplicidade algébrica de cada um no polinômio característico, fornece um limite inferior válido para a dimensão do espaço coluna de A. Se A for não defectiva, por exemplo, o número de autovalores não nulos, contando suas multiplicidades, será a dimensão de C(A) e, portanto o seu rank. Nesse caso, a dimensão do auto-espaço associado a cada autovalor é exatamente a multiplicidade algébrica de cada autovalore e rank(A)= número de autovalores não nulos, contando suas multiplicidades.

Passo 1

O enunciado contém doze afirmações sobre matrizes em Álgebra Linear: nilpotência, traço, determinante, similaridade, autovalores, polinômio característico, diagonalização, normalidade e posto de matriz. Vamos julgar cada uma como verdadeira ou falsa, justificando com exemplos e argumentos de autovalores, traço, determinante e transformação de similaridade.

Passo 2

Afirmação 1: “Se A^k=0 para todo inteiro positivo k>=2, então A=0.”
Isso é falso. Contra-exemplo:
A=1 & -11 & -1
Nota-se que
A^2=1&-11&-1 1&-11&-1 =0&00&0,
porém Aneq0.
Afirmação 2: “Se A^k=0 para algum inteiro k>0, então sumiaii=0.”
Isso é verdadeiro, pois A é nilpotente e todos os seus autovalores lambdai são nulos. O traço é soma dos autovalores, logo
tr(A)=sumi=1^nlambdai=0

Passo 3

Afirmação 3: “Se sumiaii=0, então det(A)=0.”
Isso é falso. Contra-exemplo:
A=1&00&-1
tem tr(A)=1+(-1)=0 mas det(A)=-1neq0.

Passo 4

Afirmação 4: “Se A,B são similares, det(A)=det(B).”
Verdadeiro, pois B=C^-1AC implica det(B)=det(C^-1)det(A)det(C)=det(A).
Afirmação 5: “Se A,B são similares, então têm mesmos autovalores.”
Verdadeiro, já que a ação de similaridade não altera o polinômio característico nem suas raízes.

Passo 5

Afirmação 6: “Se A,B têm os mesmos autovalores, então são similares.”
Isso é falso. Ter mesmo espectro não garante similaridade sem igual multiplicidade geométrica e blocos de Jordan iguais. Exemplo trivial: matrizes I2 e I3 têm o mesmo autovalor (1) mas tamanhos diferentes, logo não são similares.

Passo 6

Afirmação 7: “Se A,B têm o mesmo polinômio característico, então têm os mesmos autovalores.”
Verdadeiro, pois as raízes de um polinômio são exatamente os autovalores.
Afirmação 8: “Se A,B têm os mesmos autovalores, então têm o mesmo polinômio característico.”
Isso é falso, pois talvez tenham diferentes multiplicidades algébricas dos mesmos autovalores, gerando polinômios distintos.

Passo 7

Afirmação 9: “ diag1,2,ldots,n é similar a diagn,n-1,ldots,1.”
Verdadeiro. Basta a matriz de permutação P que reverte a ordem dos vetores canônicos. Então
P,diag1,dots,n,P^T =diagn,dots,1,
e P^-1=P^T.

Passo 8

Afirmação 10: “Se A possui autovalores repetidos, A é não diagonalizável.”
Isso é falso. A diagonalização depende da multiplicidade geométrica de cada autovalor; se for igual à algébrica, a matriz é diagonalizável mesmo com repetições.
Afirmação 11: “Se A é unitariamente diagonalizável, então A é normal.”
Verdadeiro. Uma matriz A é normal se e somente se existe unitária U tal que U^*AU é diagonal.

Passo 9

Afirmação 12: “Se A possui r autovalores não nulos, então rank(A)>= r.”
Verdadeiro. Cada autovalor não nulo contribui com pelo menos uma dimensão ao espaço coluna, logo o posto é no mínimo o número de autovalores não nulos (contando multiplicidade geométrica).

Resposta

  1. Falso
  2. Verdadeiro
  3. Falso
  4. Verdadeiro
  5. Verdadeiro
  6. Falso
  7. Verdadeiro
  8. Falso
  9. Verdadeiro
  10. Falso
  11. Verdadeiro
  12. Verdadeiro

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