Questão 06: Responda verdadeiro ou falso e justifique.
para todo inteiro positivo , então .
Solução: Falso. Contra-exemplo:
2) A^k=0 para algum inteiro positivo k, então sumi ai i=0.
Solução: Verdadeiro. Uma matriz A tal que A^k=0 para algum inteiro k é chamada nilpotente. Veja que qualquer potência de A possui os mesmos autovetores de A e, como autovalores, lambda(A)i^k, onde lambda(A)i: i=1, ldots, n são os n autovalores de A. Então temos que para algum x (autovetor não nulo de A ): 0=A^k x=lambdai(A)^k x. Portanto, todos os autovalores de A^k são todos nulos, o polinômio característico de A^k e de A é lambda^k. Em resumo, os autovalores de A são todos nulos. Logo, tr(A)=sumi=1^n lambdai(A)=0.
3) Se sumi ai i=0, então |A|=0 (determinante de A é zero).
Solução: Falso. Contra exemplo: considere a matriz A=[cc1 & 0 0 & -1] cujo determinante é -1 e autovalores são 1,-1.
4) Se A, B são similares, det(A)=det(B).
Solução: Verdadeiro, pois os seus autovalores são iguais e temos que a multiplicação dos autovalores é igual ao determinante da matriz.
5) Se A, B são similares, então as duas matrizes possuem os mesmos autovalores.
Solução: Verdadeiro, veja prova no slide 63 (fundamentos de álgebra linear).
6) Se A, B possuem os mesmos autovalores, então são similares.
Solução: Falso. Duas matrizes podem ter o mesmo conjunto de autovalores, mas com diferentes multiplicidades e portanto são diferentes. Exemplo: I2 e I3. Recorde-se de que para que duas matrizes sejam similares, deve existir uma matriz C, que possua inversa, tal que A=C B C^-1. Não há uma transformação similar para I2, I3 pois não existe uma C quadrada que faça a transformação similar.
7) Se A, B possuem o mesmo polinômio característico, então possuem os mesmos autovalores.
Solução: Verdadeiro. As raízes do polinômio característico são os autovalores destas matrizes.
8) Se A, B possuem os mesmos autovalores, então possuem o mesmo polinômio característico.
Solução: Falso. A multiplicidade algébrica de um mesmo autovalor pode ser diferente, resultando em polinômios diferentes.
9) diag1,2, ldots, n é similar a diagn, n-1, ldots, 1 (se verdadeira, encontre a matriz B e sua inversa que garantem a similaridade).
Verdadeiro. A matriz de permutação P associada a pi=(n, n-1, n-2, ldots, 1). A transformação é P(diag1,2, ldots, n) P^T=diagn, n-1, ldots, 1. Recorde-se de que a inversa de uma matriz de permutação é sua transposta.
10) Se A possui autovalores repetidos, A é não diagonalizável.
Solução: Falso, pois depende da multiplicidade geométrica dos seus autovetores.
11) Se A é unitariamente diagonalizável, então A é normal.
Solução: Verdadeira. A matriz A é uma matriz normal se e somente se A A^T=A^T A. Portanto, seus autovalores são ortogonais e a matriz é unitariamente diagonalizável. Uma demonstração elegante será apresentada quando estudarmos fatoração SVD.
12) Se A possui r autovalores não nulos, então rank(A) >= r.
Verdadeiro. O número de autovalores não nulos, sem contar a multiplicidade algébrica de cada um no polinômio característico, fornece um limite inferior válido para a dimensão do espaço coluna de A. Se A for não defectiva, por exemplo, o número de autovalores não nulos, contando suas multiplicidades, será a dimensão de C(A) e, portanto o seu rank. Nesse caso, a dimensão do auto-espaço associado a cada autovalor é exatamente a multiplicidade algébrica de cada autovalore e rank(A)= número de autovalores não nulos, contando suas multiplicidades.
Passo 1
O enunciado contém doze afirmações sobre matrizes em Álgebra Linear: nilpotência, traço, determinante, similaridade, autovalores, polinômio característico, diagonalização, normalidade e posto de matriz. Vamos julgar cada uma como verdadeira ou falsa, justificando com exemplos e argumentos de autovalores, traço, determinante e transformação de similaridade.
Passo 2
Afirmação 1: “Se A^k=0 para todo inteiro positivo k>=2, então A=0.”
Isso é falso. Contra-exemplo:
A=1 & -11 & -1
Nota-se que
A^2=1&-11&-1 1&-11&-1 =0&00&0,
porém Aneq0.
Afirmação 2: “Se A^k=0 para algum inteiro k>0, então sumiaii=0.”
Isso é verdadeiro, pois A é nilpotente e todos os seus autovalores lambdai são nulos. O traço é soma dos autovalores, logo
tr(A)=sumi=1^nlambdai=0
Passo 3
Afirmação 3: “Se sumiaii=0, então det(A)=0.”
Isso é falso. Contra-exemplo:
A=1&00&-1
tem tr(A)=1+(-1)=0 mas det(A)=-1neq0.
Passo 4
Afirmação 4: “Se A,B são similares, det(A)=det(B).”
Verdadeiro, pois B=C^-1AC implica det(B)=det(C^-1)det(A)det(C)=det(A).
Afirmação 5: “Se A,B são similares, então têm mesmos autovalores.”
Verdadeiro, já que a ação de similaridade não altera o polinômio característico nem suas raízes.
Passo 5
Afirmação 6: “Se A,B têm os mesmos autovalores, então são similares.”
Isso é falso. Ter mesmo espectro não garante similaridade sem igual multiplicidade geométrica e blocos de Jordan iguais. Exemplo trivial: matrizes I2 e I3 têm o mesmo autovalor (1) mas tamanhos diferentes, logo não são similares.
Passo 6
Afirmação 7: “Se A,B têm o mesmo polinômio característico, então têm os mesmos autovalores.”
Verdadeiro, pois as raízes de um polinômio são exatamente os autovalores.
Afirmação 8: “Se A,B têm os mesmos autovalores, então têm o mesmo polinômio característico.”
Isso é falso, pois talvez tenham diferentes multiplicidades algébricas dos mesmos autovalores, gerando polinômios distintos.
Passo 7
Afirmação 9: “diag1,2,ldots,n é similar a diagn,n-1,ldots,1.”
Verdadeiro. Basta a matriz de permutação P que reverte a ordem dos vetores canônicos. Então
P,diag1,dots,n,P^T =diagn,dots,1,
e P^-1=P^T.
Passo 8
Afirmação 10: “Se A possui autovalores repetidos, A é não diagonalizável.”
Isso é falso. A diagonalização depende da multiplicidade geométrica de cada autovalor; se for igual à algébrica, a matriz é diagonalizável mesmo com repetições.
Afirmação 11: “Se A é unitariamente diagonalizável, então A é normal.”
Verdadeiro. Uma matriz A é normal se e somente se existe unitária U tal que U^*AU é diagonal.
Passo 9
Afirmação 12: “Se A possui r autovalores não nulos, então rank(A)>= r.”
Verdadeiro. Cada autovalor não nulo contribui com pelo menos uma dimensão ao espaço coluna, logo o posto é no mínimo o número de autovalores não nulos (contando multiplicidade geométrica).