Questão 06: Responda verdadeiro ou falso e justifique.
A^k=0 para todo inteiro positivo
k >= 2 , então
A=0 .
Solução: Falso. Contra-exemplo:
A=[cc1 & -1 1 & -1]
2)
A^k=0 para algum inteiro positivo
k , então
sumi ai i=0 .
Solução: Verdadeiro. Uma matriz
A tal que
A^k=0 para algum inteiro
k é chamada nilpotente. Veja que qualquer potência de
A possui os mesmos autovetores de
A e, como autovalores,
lambda(A)i^k , onde
lambda(A)i: i=1, ldots, n são os
n autovalores de
A . Então temos que para algum
x (autovetor não nulo de
A ):
0=A^k x=lambdai(A)^k x . Portanto, todos os autovalores de
A^k são todos nulos, o polinômio característico de
A^k e de
A é
lambda^k . Em resumo, os autovalores de
A são todos nulos. Logo,
tr(A)=sumi=1^n lambdai(A)=0 .
3) Se
sumi ai i=0 , então
|A|=0 (determinante de
A é zero).
Solução: Falso. Contra exemplo: considere a matriz
A=[cc1 & 0 0 & -1] cujo determinante é -1 e autovalores são
1,-1 .
4) Se
A, B são similares,
det(A)=det(B) .
Solução: Verdadeiro, pois os seus autovalores são iguais e temos que a multiplicação dos autovalores é igual ao determinante da matriz.
5) Se
A, B são similares, então as duas matrizes possuem os mesmos autovalores.
Solução: Verdadeiro, veja prova no slide 63 (fundamentos de álgebra linear).
6) Se
A, B possuem os mesmos autovalores, então são similares.
Solução: Falso. Duas matrizes podem ter o mesmo conjunto de autovalores, mas com diferentes multiplicidades e portanto são diferentes. Exemplo:
I2 e
I3 . Recorde-se de que para que duas matrizes sejam similares, deve existir uma matriz
C , que possua inversa, tal que
A=C B C^-1 . Não há uma transformação similar para
I2, I3 pois não existe uma
C quadrada que faça a transformação similar.
7) Se
A, B possuem o mesmo polinômio característico, então possuem os mesmos autovalores.
Solução: Verdadeiro. As raízes do polinômio característico são os autovalores destas matrizes.
8) Se
A, B possuem os mesmos autovalores, então possuem o mesmo polinômio característico.
Solução: Falso. A multiplicidade algébrica de um mesmo autovalor pode ser diferente, resultando em polinômios diferentes.
9)
diag1,2, ldots, n é similar a
diagn, n-1, ldots, 1 (se verdadeira, encontre a matriz
B e sua inversa que garantem a similaridade).
Verdadeiro. A matriz de permutação
P associada a
pi=(n, n-1, n-
2, ldots, 1) . A transformação é
P(diag1,2, ldots, n) P^T=diagn, n-1, ldots, 1 . Recorde-se de que a inversa de uma matriz de permutação é sua transposta.
10) Se
A possui autovalores repetidos,
A é não diagonalizável.
Solução: Falso, pois depende da multiplicidade geométrica dos seus autovetores.
11) Se
A é unitariamente diagonalizável, então
A é normal.
Solução: Verdadeira. A matriz A é uma matriz normal se e somente se
A A^T=A^T A . Portanto, seus autovalores são ortogonais e a matriz é unitariamente diagonalizável. Uma demonstração elegante será apresentada quando estudarmos fatoração SVD.
12) Se
A possui
r autovalores não nulos, então
rank(A) >= r .
Verdadeiro. O número de autovalores não nulos, sem contar a multiplicidade algébrica de cada um no polinômio característico, fornece um limite inferior válido para a dimensão do espaço coluna de
A . Se
A for não defectiva, por exemplo, o número de autovalores não nulos, contando suas multiplicidades, será a dimensão de
C(A) e, portanto o seu rank. Nesse caso, a dimensão do auto-espaço associado a cada autovalor é exatamente a multiplicidade algébrica de cada autovalore e
rank(A)= número de autovalores não nulos, contando suas multiplicidades.