Questão 07-0,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de óleo \left(c_{p, \text { óleo }}=2090 \frac{\mathrm{~J}}{\mathrm{~kg} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}}\right)ó são resfriados com 0,201 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de água \left(c_{p, \text { água }}=4180 \frac{\mathrm{~J}}{\mathrm{~kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C}}\right)á em um trocador de calor. O óleo entra a 375 K e a água entra 280 K , o coeficiente global de troca de calor é 250 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}\right), e área de troca térmica é de 1,65 \mathrm{~m}^{2}. Determinar as temperaturas de saída do óleo e da água para as condições especificadas se a configuração do trocador for:
b) Paralelo

Passo 1

Lista clara do que o enunciado dá e do que pede (peguei todos os dados do enunciado):
  • Vazões mássicas:
    • óleo: \dot{m}_{\text{óleo}}=0{,}5\\ \mathrm{kg/s}ó
    • água: \dot{m}_{\text{água}}=0{,}201\\ \mathrm{kg/s}á
  • Calores específicos:
    • óleo: c_{p,\text{óleo}}=2090\\ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}\cdot{ }^{\circ}\mathrm{C}}ó
    • água: c_{p,\text{água}}=4180\\ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}\cdot{ }^{\circ}\mathrm{C}}á
  • Temperaturas de entrada:
    • óleo (fluido quente): T_{h,\text{in}}=375\\ \mathrm{K}
    • água (fluido frio): T_{c,\text{in}}=280\\ \mathrm{K}
  • Coeficiente global e área:
    • U=250\\ \dfrac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}}
    • A=1{,}65\\ \mathrm{m}^2
  • Configuração pedida: trocador em fluxo paralelo.
  • O que se pede: determinar as temperaturas de saída do óleo e da água, ou seja T_{h,\text{out}} e T_{c,\text{out}}.

Passo 2

Escolha do método (explicando de forma simples e amiga): aqui temos U e A conhecidos e precisamos das temperaturas de saída. Uma maneira direta e prática é usar o método da eficácia (método NTU/effectiveness). Por quê? Porque com UA conhecido e sem saber as temperaturas de saída, o método NTU nos dá a razão entre o calor trocado e o máximo calor possível sem precisar adivinhar as saídas — evita tentativas iterativas que o método LMTD exigiria. Então vamos aplicar o método NTU para trocador em paralelo.
Vou explicar cada conceito à medida que usar (sem pular etapas).

Passo 3

Definir as taxas de capacidade térmica (explicando): a taxa de capacidade térmica de um fluido é a quantidade de calor que ele pode armazenar por unidade de variação de temperatura por segundo. É dada por
C=\dot{m}\,c_p,
onde \dot{m} é a vazão mássica ( \mathrm{kg/s}) e c_p é o calor específico ( \mathrm{J/(kg\cdot K)}). Calculamos as duas:
  • Para o óleo:
C_{\text{óleo}}=\dot{m}_{\text{óleo}}\,c_{p,\text{óleo}}=0{,}5\times2090=1045\\ \mathrm{W/K}.óóó
  • Para a água:
C_{\text{água}}=\dot{m}_{\text{água}}\,c_{p,\text{água}}=0{,}201\times4180=840{,}18\\ \mathrm{W/K}.ááá
Identificamos o menor e o maior:
C_{\min}=C_{\text{água}}=840{,}18\\ \mathrm{W/K},\qquad C_{\max}=C_{\text{óleo}}=1045\\ \mathrm{W/K}.áó
Definimos a razão de capacidades
C=\frac{C_{\min}}{C_{\max}}=\frac{840{,}18}{1045}\approx0{,}8038.

Passo 4

Definir e calcular o número de unidades térmicas (NTU): o NTU mede a “força” do trocador em relação à capacidade térmica do fluido com menor capacidade. É dado por
\mathrm{NTU}=\frac{U A}{C_{\min}}.
Substituindo os valores:
UA=250\times1{,}65=412{,}5\\ \mathrm{W/K},
\mathrm{NTU}=\frac{412{,}5}{840{,}18}\approx0{,}4911.

Passo 5

Fórmula da eficácia para fluxo paralelo e interpretação: a eficácia \varepsilon é a razão entre o calor efetivamente trocado e o calor máximo teoricamente possível ( C_{\min}(T_{h,\text{in}}-T_{c,\text{in}})). Para fluxo paralelo a fórmula conhecida é
\varepsilon=\frac{1-\exp\!\big(-\mathrm{NTU}(1+C)\big)}{1+C},
onde C é a razão de capacidades definida antes. Depois de obter \varepsilon, o calor trocado é
\dot{Q}=\varepsilon\,C_{\min}\,(T_{h,\text{in}}-T_{c,\text{in}}).
Explicando em palavras: \varepsilon varia entre 0 e 1; quanto maior o NTU ou quanto mais equilibradas as capacidades, maior a eficácia.

Passo 6

Calcular passo a passo a eficácia \varepsilon:
  • Primeiro calcule \mathrm{NTU}(1+C):
1+C=1+0{,}8038=1{,}8038,
\mathrm{NTU}(1+C)\approx0{,}4911\times1{,}8038\approx0{,}8859.
  • Agora a exponencial:
\exp\!\big(-0{,}8859\big)\approx0{,}4125.
  • Portanto a eficácia:
\varepsilon=\frac{1-0{,}4125}{1{,}8038}=\frac{0{,}5875}{1{,}8038}\approx0{,}3258.

Passo 7

Calcular o calor trocado \dot{Q} (com demonstração numérica): a diferença de temperatura de entrada é
\Delta T_{\text{in}}=T_{h,\text{in}}-T_{c,\text{in}}=375-280=95\\ \mathrm{K}.
Logo
\dot{Q}=\varepsilon\,C_{\min}\,\Delta T_{\text{in}} =0{,}3258\times840{,}18\times95.
Faço as multiplicações em etapas:
840{,}18\times95=79\,817{,}1\\ \mathrm{W},
\dot{Q}=0{,}3258\times79\,817{,}1\approx25\,996\\ \mathrm{W}.
Arredondando razoavelmente: \dot{Q}\approx2{,}60\times10^{4}\\ \mathrm{W} (ou \approx26{,}0\\ \mathrm{kW}).

Passo 8

Calcular as temperaturas de saída aplicando balanço de energia em cada fluido (explicando a lógica): a energia retirada do fluido quente (óleo) deve ser \dot{Q}=C_{\text{óleo}}\,(T_{h,\text{in}}-T_{h,\text{out}})ó. Assim
T_{h,\text{out}}=T_{h,\text{in}}-\frac{\dot{Q}}{C_{\text{óleo}}}.ó
Substituindo:
T_{h,\text{out}}=375-\frac{25996}{1045}\approx375-24{,}882\approx350{,}12\\ \mathrm{K}.
Para o fluido frio (água), a energia absorvida é \dot{Q}=C_{\text{água}}\,(T_{c,\text{out}}-T_{c,\text{in}})á, então
T_{c,\text{out}}=T_{c,\text{in}}+\frac{\dot{Q}}{C_{\text{água}}}.á
Substituindo:
T_{c,\text{out}}=280+\frac{25996}{840{,}18}\approx280+30{,}955\approx310{,}96\\ \mathrm{K}.

Passo 9

Verificação rápida e comentário encorajador:
  • Verificação da conservação de energia: C_{\text{óleo}}(375-350{,}12)\approx1045\times24{,}88\approx25996\\ \mathrm{W}ó igual a \dot{Q}. Bom sinal!
  • Em trocador paralelo o fluido quente e o frio aproximam-se, mas o aquecimento do frio não ultrapassa a temperatura de saída do quente; aqui T_{c,\text{out}}\approx310{,}96\\ \mathrm{K}<T_{h,\text{out}}\approx350{,}12\\ \mathrm{K}, coerente com fluxo paralelo.
  • Parabéns: seguiu as etapas e checagens — é exatamente o tipo de raciocínio que costuma funcionar na prova.

Resposta

T_{h,\text{out}}=350{,}12\\ \mathrm{K}
T_{c,\text{out}}=310{,}96\\ \mathrm{K}

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