Questão 06-175000 lb/h de água destilada ( \mathrm{c}_{\mathrm{p}}=1,00 \mathrm{Btu} / \mathrm{lb}^{\circ} \mathrm{F} ) entra em um trocador de calor a 93^{\circ} \mathrm{F} e deixa a 85^{\circ} \mathrm{F}. O calor será transferido para 280000 \mathrm{lb} / \mathrm{h} de água ( \mathrm{c}_{\mathrm{p}}=1,00 \mathrm{Btu} / \mathrm{lb}{ }^{\circ} \mathrm{F} ) entrando a 75^{\circ} \mathrm{F} e deixando o trocador de calor a 80^{\circ} \mathrm{F}. Considerando um fator de incrustação de 0,0005 \mathrm{~h} . \mathrm{ft}^{2} .^{\circ} \mathrm{F} / \mathrm{Btu}, avalie se
o equipamento, com a configuração a seguir, será suficiente para a transferência de calor esperada.
Trocador casco e tubo 1-2, com diâmetro interno do casco de 15 \frac{1}{4} in, diâmetro externo do tubo \frac{3}{4} in ( 160 tubos), BWG 18 ( 0,049 in), comprimento dos tubos de 16^{\prime} 0^{\prime \prime} com passo de 15 / 16 in na configuração triangular e espaçamento entre chicanas de 12 in.
INFORMAÇÕES COMPLEMENTARES: propriedades térmicas da água a 89^{\circ} \mathrm{F}: \mu=1,96 \frac{l b}{f t . h^{\prime}}, \mathrm{k}=0,36 \mathrm{Btu} / \mathrm{h} . \mathrm{ft} .^{\circ} \mathrm{F}; Coeficiente de transferência de calor por convecção da água a 77,5^{\circ} \mathrm{F}: h=1335 \frac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{h} \cdot \mathrm{ft}^{2} \cdot \mathrm{~F}^{\prime}}, fluido quente localizado no casco e fluido frio no tubo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
O enunciado fornece:
  • Vazões mássicas e cp das correntes:
    • Fluido quente (casco): \dot{m}_h = 175000\\ \mathrm{lb/h}, \,c_{p,h}=1{,}00\\ \mathrm{Btu/(lb\cdot{}^\circ F)}, entrada T_{h,in}=93^\circ F, saída T_{h,out}=85^\circ F.
    • Fluido frio (tubos): \dot{m}_c = 280000\\ \mathrm{lb/h}, \,c_{p,c}=1{,}00\\ \mathrm{Btu/(lb\cdot{}^\circ F)}, entrada T_{c,in}=75^\circ F, saída T_{c,out}=80^\circ F.
  • Fator de incrustação (fouling): R_f = 0{,}0005\\ \mathrm{h\cdot ft^2\cdot^\circ F/Btu} (valor único fornecido no enunciado).
  • Geometria do trocador:
    • Tipo: casco-tubo 1-2 (casco 1 passe, tubos 2 passes).
    • Diâmetro interno do casco: D_{shell} = 15\tfrac{1}{4}\\ \mathrm{in}.
    • Diâmetro externo do tubo: d_o = \tfrac{3}{4}\\ \mathrm{in}.
    • Número de tubos: N_t = 160.
    • Espessura do tubo (BWG 18): t = 0{,}049\\ \mathrm{in} (informado, mas pouco usado se desprezarmos resistência do metal).
    • Comprimento dos tubos: L = 16\\ \mathrm{ft}.
    • Passo triangular: p = 15/16\\ \mathrm{in} (informação geométrica).
    • Espaçamento entre chicanas (baffles): 12\\ \mathrm{in}.
  • Propriedades térmicas da água (próximas das temperaturas de operação):
    • A 89^\circ F: \mu = 1{,}96\\ \mathrm{lb/(ft\cdot h)}, k = 0{,}36\\ \mathrm{Btu/(h\cdot ft\cdot ^\circ F)}.
    • Coeficiente convectivo informado (água a 77{,}5^\circ F): h = 1335\\ \mathrm{Btu/(h\cdot ft^2\cdot ^\circ F)}.
  • Informação de posicionamento dos fluidos: fluido quente no casco e fluido frio nos tubos.
O que o enunciado pede:
  • Avaliar se o equipamento descrito será suficiente para efetuar a transferência de calor requerida (ou seja, comparar a área de troca disponível com a área necessária para transferir a potência térmica exigida).
Observações importantes (decisões/assunções que tomo sem perguntar, porque o enunciado é ambíguo em alguns pontos):
  • O enunciado fornece um único valor de h. Vou assumir que esse valor refere-se à convecção do fluido dentro dos tubos (típico em muitos problemas), mas, por falta de outro valor e porque as duas correntes são água com propriedades próximas, adotarei como aproximação prática h_{i}=h_{o}=1335\\ \mathrm{Btu/(h\cdot ft^2\cdot^\circ F)}. Vou explicitar o efeito dessa assunção depois e mostrar que a conclusão é robusta.
  • O fator de incrustação dado será aplicado em ambas as superfícies (soma dos dois fatores), ou seja, R_{f,tot}=R_{f,i}+R_{f,o}=2\times0{,}0005=0{,}001\\ \mathrm{h\cdot ft^2\cdot^\circ F/Btu}. Esta é uma hipótese conservadora (mais severa); apresento também o caso em que a incrustação valha apenas de um lado, para comparar.
  • Para o fator de correção da LMTD (devido à configuração 1-2) vou usar um valor típico F\approx0{,}96. Explico por quê e faço uma observação de sensibilidade mais abaixo.
A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Calcular a potência térmica (calor transferido) usando balanço energético; é a mesma potência para ambas as correntes (verificar consistência).
Fórmula que usamos:
\dot{Q}=\dot{m}\,c_p\,(T_{in}-T_{out})
onde \dot{m} é vazão mássica, c_p é calor específico e T_{in},T_{out} são temperaturas de entrada/saída.
Para o fluido quente:
\dot{Q}_h = \dot{m}_h\,c_{p,h}\,(T_{h,in}-T_{h,out})
Substituindo:
\dot{Q}_h = 175000\cdot 1{,}00\cdot(93-85)=175000\cdot 8=1400000\\ \mathrm{Btu/h}.
Para o fluido frio:
\dot{Q}_c = \dot{m}_c\,c_{p,c}\,(T_{c,out}-T_{c,in})
Substituindo:
\dot{Q}_c = 280000\cdot 1{,}00\cdot(80-75)=280000\cdot 5=1400000\\ \mathrm{Btu/h}.
Ambos concordam: \dot{Q}=1{,}400{,}000\\ \mathrm{Btu/h}. Essa é a carga térmica que o trocador precisa remover/doar.

Passo 3

Calcular o LMTD (log mean temperature difference) para o arranjo ideal (contra-corrente), depois aplicar o fator de correção F pelo arranjo real 1-2.
Primeiro, calcular as diferenças de temperatura nas extremidades:
\Delta T_1 = T_{h,in}-T_{c,out} = 93-80 = 13^\circ F,
\Delta T_2 = T_{h,out}-T_{c,in} = 85-75 = 10^\circ F.
A fórmula do LMTD (contra-corrente ideal) é
\Delta T_{lm} = \frac{\Delta T_1-\Delta T_2}{\ln\!\left(\dfrac{\Delta T_1}{\Delta T_2}\right)}.
Substituindo:
\Delta T_{lm} = \frac{13-10}{\ln(13/10)}=\frac{3}{\ln(1{,}3)}\approx \frac{3}{0{,}262364}=11{,}44^\circ F.
Agora aplicar o fator de correção F pelo arranjo real (casco 1 passe / tubos 2 passes). Para trocadores 1-2, F costuma ser próximo de 0{,}9–0{,}98 dependendo das razões de temperatura. Com os números dados (veja Passo 1: razão R=(T_{h,in}-T_{h,out})/(T_{c,out}-T_{c,in})=8/5=1{,}6 e S=(T_{c,out}-T_{c,in})/(T_{h,in}-T_{c,in})\approx0{,}278), a tabela/gráficos usuais dão F em torno de 0{,}95 0{,}97. Vou adotar, de forma razoável e conservadora, F=0{,}96.
Portanto a diferença de temperatura eficaz é:
\Delta T_{eff} = F\cdot\Delta T_{lm}=0{,}96\times 11{,}44\approx 10{,}98^\circ F.
Observação: se alguém usar F ligeiramente menor (por exemplo 0{,}92) a área requerida aumenta; farei uma observação de sensibilidade no Final.

Passo 4

Calcular a área de troca disponível (área externa dos tubos), porque a geometria dos tubos é que define a área ativa para troca (usualmente usa-se a área externa dos tubos para cálculo).
Fórmula da área externa total:
A_o = N_t\cdot \pi d_o L,
onde d_o em pés e L em pés.
Converter d_o=\tfrac{3}{4}\\ \mathrm{in} = 0{,}75\\ \mathrm{in} = 0{,}75/12\\ \mathrm{ft} = 0{,}0625\\ \mathrm{ft}.
Tubos com L=16\\ \mathrm{ft} e N_t=160.
Calcule:
A_o = 160\cdot\pi\cdot 0{,}0625\cdot 16.
Note que 0{,}0625\times 16 = 1, logo
A_o = 160\cdot\pi\cdot 1 \approx 160\cdot 3{,}14159 \approx 502{,}6548\\ \mathrm{ft^2}.
Arredondando: A_o\approx 502{,}7\\ \mathrm{ft^2}.
(Observação simpática: a coincidência d_o\cdot L = 1 ft simplificou bem a conta — sorte nossa!)

Passo 5

Determinar o coeficiente global de transferência de calor U. Vou explicar a teoria antes de usar fórmulas.
Teoria resumida (muito didática):
  • A transferência de calor entre os dois fluidos passa por resistências térmicas em série: convecção do lado do tubo ( 1/h_i), eventual incrustação no interior ( R_{f,i}), condução da parede do tubo, incrustação no exterior ( R_{f,o}), e convecção do lado do casco ( 1/h_o). Em termos por unidade de área externa A_o a resistência total é:
\frac{1}{U_o} = \frac{1}{h_o} + R_{f,o} + R_{wall} + R_{f,i}\frac{A_o}{A_i} + \frac{1}{h_i}\frac{A_o}{A_i}.
  • Aqui A_i é a área interna do tubo; o fator A_o/A_i aparece quando se quer escrever todas as resistências sobre a mesma área de referência (neste caso área externa). Para tubos finos e se desprezarmos condução do metal (parede fina), a expressão é aproximada por:
\frac{1}{U_o}\approx \frac{1}{h_o} + R_{f,o} + R_{f,i} + \frac{1}{h_i},
quando h_o e h_i são definidos por unidade de área externa e quando A_o\approx A_i (aproximação razoável para tubos finos). Vou usar essa forma simples e conservadora porque a espessura do tubo é pequena ( t=0{,}049\\ \mathrm{in}) e porque o enunciado não pede precisão de engenharia detalhada do coeficiente global.
Aplicando os valores (minha assunção explicada no Passo 1):
  • h_i = h_o = 1335\\ \mathrm{Btu/(h\cdot ft^2\cdot^\circ F)}.
  • fissão total por incrustação R_{f,tot} = R_{f,i}+R_{f,o} = 2\times 0{,}0005 = 0{,}001\\ \mathrm{h\cdot ft^2\cdot^\circ F/Btu}.
Então:
\frac{1}{U_o} \approx \frac{1}{1335} + 0{,}001 + \frac{1}{1335}.
Calcule os termos:
\frac{1}{1335}\approx 0{,}0007491.
Portanto
\frac{1}{U_o}\approx 0{,}0007491 + 0{,}001 + 0{,}0007491 = 0{,}0024982.
Logo
U_o \approx \frac{1}{0{,}0024982}\approx 400{,}3\\ \mathrm{Btu/(h\cdot ft^2\cdot^\circ F)}.
Interpretação: U_o\approx 400 é um valor plausível para água-água com alguma incrustação moderada.
Observação de sensibilidade (opção menos conservadora): se o fator de incrustação fosse aplicado apenas de um lado ( R_{f,tot}=0{,}0005) então
\frac{1}{U_o} \approx 2\cdot\frac{1}{1335} + 0{,}0005 = 0{,}0014982 + 0{,}0005 = 0{,}0019982,
logo U_o\approx 500{,}5\\ \mathrm{Btu/(h\cdot ft^2\cdot^\circ F)}. Isso melhora (aumenta) U e diminui a área necessária. Assim nossa escolha inicial (incrustação em ambos os lados) é conservadora.

Passo 6

Calcular a área requerida para atender a carga térmica usando a equação de projeto do trocador:
\dot{Q} = U_o \, A_o^{req} \, \Delta T_{eff},
onde A_o^{req} é a área externa necessária e \Delta T_{eff}=F\Delta T_{lm} já calculado.
Isolando A_o^{req}:
A_o^{req} = \frac{\dot{Q}}{U_o\,\Delta T_{eff}}.
Substituir os números (usando U_o\approx 400{,}3, \Delta T_{eff}\approx 10{,}98^\circ F e \dot{Q}=1{,}400{,}000\\ \mathrm{Btu/h}):
Primeiro calcule o denominador:
U_o\,\Delta T_{eff} \approx 400{,}3\times 10{,}98 \approx 4396{,}9\\ \mathrm{Btu/(h\cdot ft^2)}.
Agora
A_o^{req} \approx \frac{1400000}{4396{,}9}\approx 318{,}6\\ \mathrm{ft^2}.
Arredondando: A_o^{req}\approx 319\\ \mathrm{ft^2}.
Comparação com a área disponível do trocador (calculada no Passo 4): A_o = 502{,}7\\ \mathrm{ft^2}.
Logo a área disponível é maior que a área requerida: 502{,}7\\ > 318{,}6\\ \mathrm{ft^2}.

Passo 7

Interpretação do resultado e verificação de sensibilidade — discutir a validade das hipóteses e se a conclusão é robusta.
Resumo do raciocínio:
  • Carga térmica exigida: \dot{Q}=1{,}400{,}000\\ \mathrm{Btu/h}.
  • Área necessária com hipóteses conservadoras (incrustação em ambos os lados, h_i=h_o=1335, F=0{,}96) deu A_o^{req}\approx 319\\ \mathrm{ft^2}.
  • Área real disponível: A_o\approx 503\\ \mathrm{ft^2}.
Portanto, com as hipóteses adotadas, o trocador é suficiente, pois sobra folga de área (~58 % a mais que a necessária).
Verificação rápida de sensibilidade:
  • Se em vez de assumir h_o=1335 tivéssemos h_o bem menor (por exemplo h_o=800), o U cairia. Exemplo rápido: com h_i=1335,\\ h_o=800 e R_{f,tot}=0{,}001, \frac{1}{U} = \frac{1}{800}+\frac{1}{1335}+0{,}001 \approx 0{,}00125 + 0{,}000749 + 0{,}001 = 0{,}0030 \Rightarrow U\approx 333. Então A_o^{req}=\frac{1400000}{333\times 10{,}98}\approx 382\\ \mathrm{ft^2},que ainda é menor que 502{,}7\\ \mathrm{ft^2}. Ou seja, mesmo reduzindo bastante h_o a área disponível ainda seria suficiente neste exemplo.
  • Se o fator de correção F fosse muito menor, por exemplo F=0{,}85, a \Delta T_{eff} diminuiria e a área exigida aumentaria. Com nossos U e \Delta T_{lm} anteriores, com F=0{,}85 teríamos \Delta T_{eff}=0{,}85\times 11{,}44=9{,}724^\circ F e então A_o^{req} \approx \frac{1400000}{400{,}3\times 9{,}724}\approx 359\\ \mathrm{ft^2},ainda menor que 502{,}7\\ \mathrm{ft^2}.
Conclusão prática: a conclusão “trocador suficiente” é robusta frente a variações razoáveis das hipóteses.

Passo 8

Pequeno incentivo e resumo final didático:
  • Fizemos as contas principais que um fiscal de prova pede: balanço de energia para obter \dot{Q}, cálculo de \Delta T_{lm} e correção F para a configuração 1-2, cálculo da área disponível direta dos tubos e estimação de U pela soma das resistências (convecção + incrustação).
  • As hipóteses mais delicadas: escolha de h_o e h_i e a aplicação do fator de incrustação. Usei hipóteses conservadoras (incrustação nos dois lados), e ainda assim a área disponível sobra folga.
  • Portanto, na prova: faça primeiro o balanço de energia (é rápido), calcule LMTD e A disponível (também rápido), teste um valor razoável de U (ou calcule por resistências se tiver os h dados). Se a área disponível for muito maior que a requerida, você já pode afirmar que o trocador é suficiente — e, na dúvida, argumente com sensibilidade como eu mostrei.

Resposta

Sim — a área disponível A_o\approx 502{,}7\\ \mathrm{ft^2} é maior que a área requerida A_o^{req}\approx 318{,}6\\ \mathrm{ft^2} (com U_o\approx 400\\ \mathrm{Btu/(h\cdot ft^2\cdot^\circ F)} e F\approx0{,}96), logo o equipamento é suficiente.

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