Questão 07-0,5 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de óleo \left(c_{p, \text { óleo }}=2090 \frac{\mathrm{~J}}{\mathrm{~kg} \cdot{ }^{\circ} \mathrm{C}}\right)ó são resfriados com 0,201 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} de água \left(c_{p, \text { água }}=4180 \frac{\mathrm{~J}}{\mathrm{~kg} .{ }^{\circ} \mathrm{C}}\right)á em um trocador de calor. O óleo entra a 375 K e a água entra 280 K , o coeficiente global de troca de calor é 250 \mathrm{~W} /\left(\mathrm{m}^{2} . \mathrm{K}\right), e área de troca térmica é de 1,65 \mathrm{~m}^{2}. Determinar as temperaturas de saída do óleo e da água para as condições especificadas se a configuração do trocador for:
a) Contracorrente

Passo 1

Liste clara do que o enunciado dá e do que pede:
  • Dados (peguei estes números do enunciado):
    • Vazão mássica do óleo: \dot m_{\text{óleo}} = 0,5\\ \mathrm{kg/s}ó.
    • Capacidade térmica mássica do óleo: c_{p,\text{óleo}} = 2090\\ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}\cdot{}^\circ\mathrm{C}}ó.
    • Vazão mássica da água: \dot m_{\text{água}} = 0,201\\ \mathrm{kg/s}á.
    • Capacidade térmica mássica da água: c_{p,\text{água}} = 4180\\ \dfrac{\mathrm{J}}{\mathrm{kg}\cdot{}^\circ\mathrm{C}}á.
    • Temperatura de entrada do óleo (fluido quente): T_{\text{óleo,in}} = 375\\ \mathrm{K}.ó
    • Temperatura de entrada da água (fluido frio): T_{\text{água,in}} = 280\\ \mathrm{K}.á
    • Coeficiente global de troca de calor: U = 250\\ \dfrac{\mathrm{W}}{\mathrm{m}^2\cdot\mathrm{K}}.
    • Área de troca térmica: A = 1,65\\ \mathrm{m}^2.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar as temperaturas de saída do óleo e da água quando o trocador é do tipo contracorrente:
      • T_{\text{óleo,out}}ó (temperatura de saída do óleo).
      • T_{\text{água,out}}á (temperatura de saída da água).

Passo 2

Escolha do método (motivo e plano de ação):
  • Aqui temos duas incógnitas ( T_{\text{óleo,out}}ó e T_{\text{água,out}}á) e a transferência de calor depende da diferença de temperatura ao longo do trocador. A forma direta com LMTD exigiria uma iteração porque a diferença de temperatura média logarítmica depende das temperaturas de saída.
  • Portanto usamos o método da efetividade-NTU, que é direto: calcula-se a efetividade \varepsilon a partir de NTU e da razão de capacidades térmicas, depois obtém-se o fluxo de calor Q e, finalmente, as temperaturas de saída pelas balanços de energia. É um método padrão e econômico em álgebra para provas.

Passo 3

Definição e cálculo das capacidades térmicas (aula curta):
  • Definição: a capacidade térmica de um fluxo é C = \dot m\, c_p. Unidade: \mathrm{W/K} (porque \dot m em \mathrm{kg/s} e c_p em \mathrm{J/(kg\cdot K)} e 1\\ \mathrm{J/s} = 1\\ \mathrm{W}).
  • Para o óleo (fluido quente): C_{\text{óleo}} = \dot m_{\text{óleo}}\, c_{p,\text{óleo}}óóó
C_{\text{óleo}} = 0,5 \times 2090 = 1045\\ \mathrm{W/K}.ó
  • Para a água (fluido frio): C_{\text{água}} = \dot m_{\text{água}}\, c_{p,\text{água}}ááá
C_{\text{água}} = 0,201 \times 4180 = 840,18\\ \mathrm{W/K}.á

Passo 4

Identificar C_{\min}, C_{\max} e razão de capacidades C_r:
  • C_{\min} = \min\{C_{\text{óleo}},C_{\text{água}}\} = 840,18\\ \mathrm{W/K}óá (água).
  • C_{\max} = \max\{C_{\text{óleo}},C_{\text{água}}\} = 1045\\ \mathrm{W/K}óá (óleo).
  • Razão de capacidades: C_r = \frac{C_{\min}}{C_{\max}} = \frac{840,18}{1045} \approx 0,80397.

Passo 5

Calcular NTU (número de unidades de transferência de calor) e explicar:
  • Definição: \displaystyle NTU = \frac{U A}{C_{\min}}. Interpretação física: relação entre a capacidade de transferência de calor do trocador ( UA) e a capacidade térmica do fluido com menor capacidade térmica; é uma medida de “tamanho efetivo” do trocador.
  • Cálculo: NTU = \frac{U A}{C_{\min}} = \frac{250 \times 1{,}65}{840{,}18} = \frac{412{,}5}{840{,}18} \approx 0{,}4912.

Passo 6

Fórmula da efetividade para fluxo contracorrente e cálculo detalhado (aula sobre efetividade):
  • Para um trocador contracorrente com C_r \neq 1, a efetividade \varepsilon é dada por \varepsilon = \frac{1 - \exp\!\big[-NTU(1 - C_r)\big]}{1 - C_r\,\exp\!\big[-NTU(1 - C_r)\big]}.Explicação das variáveis:
    • \varepsilon é a razão entre o calor efetivamente trocado Q e o calor máximo teoricamente possível Q_{\max}: \varepsilon = Q/Q_{\max}.
    • NTU já foi calculado.
    • C_r é a razão de capacidades que determina quão simétricos são os fluxos térmicos; quanto mais próximo de 1, mais simétricos.
  • Substituindo números passo a passo:
    • Calcular 1 - C_r: 1 - C_r = 1 - 0{,}80397 = 0{,}19603.
    • Calcular o argumento do exponencial: -NTU(1 - C_r) = -0{,}4912 \times 0{,}19603 \approx -0{,}09625.
    • Avaliar o exponencial: \exp\big[-NTU(1 - C_r)\big] \approx \exp(-0{,}09625) \approx 0{,}90827.
    • Numerador da fração: 1 - 0{,}90827 = 0{,}09173.
    • Denominador da fração: 1 - C_r \times 0{,}90827 \approx 1 - 0{,}80397\times 0{,}90827 \approx 1 - 0{,}73022 = 0{,}26978.
    • Portanto a efetividade: \varepsilon \approx \frac{0{,}09173}{0{,}26978} \approx 0{,}3401.

Passo 7

Calcular Q_{\max} (aula curta sobre significado):
  • Definição: Q_{\max} é o calor máximo possível se o fluido com menor capacidade térmica (aqui a água) fosse levado até a temperatura de entrada do fluido quente: Q_{\max} = C_{\min}\,(T_{\text{óleo,in}} - T_{\text{água,in}}).óá
  • Substituindo: Q_{\max} = 840{,}18 \times (375 - 280) = 840{,}18 \times 95 = 79\,817{,}1\\ \mathrm{W}.

Passo 8

Calcular o calor trocado Q:
  • Usando \displaystyle Q = \varepsilon\, Q_{\max}: Q = 0{,}3401 \times 79\,817{,}1 \approx 27\,137\\ \mathrm{W}.(ou 27{,}14\\ \mathrm{kW} arredondando)

Passo 9

Determinar as temperaturas de saída a partir dos balanços de energia (aula e cálculo):
  • Balanço no óleo (fluido quente): o calor perdido pelo óleo é Q = C_{\text{óleo}}\,(T_{\text{óleo,in}} - T_{\text{óleo,out}})óóó. Assim: T_{\text{óleo,out}} = T_{\text{óleo,in}} - \frac{Q}{C_{\text{óleo}}}.óóóSubstituindo: T_{\text{óleo,out}} = 375 - \frac{27\,137}{1045} \approx 375 - 25{,}97 \approx 349{,}03\\ \mathrm{K}.ó
  • Balanço na água (fluido frio): o calor ganho pela água é Q = C_{\text{água}}\,(T_{\text{água,out}} - T_{\text{água,in}})ááá. Assim: T_{\text{água,out}} = T_{\text{água,in}} + \frac{Q}{C_{\text{água}}}.áááSubstituindo: T_{\text{água,out}} = 280 + \frac{27\,137}{840{,}18} \approx 280 + 32{,}31 \approx 312{,}31\\ \mathrm{K}.á

Passo 10

Verificações rápidas (sanity checks):
  • Conservação de energia: Q calculado a partir da efetividade satisfaz ambos os balanços (confere porque foi usado para obter ambas as temperaturas).
  • Ordens de grandeza: o aquecimento da água em 32{,}3\\ \mathrm{K} e o resfriamento do óleo em 25{,}97\\ \mathrm{K} são coerentes com C_{\text{água}} < C_{\text{óleo}}áó (água aquece mais para a mesma energia absorvida).
  • As temperaturas permanecem dentro do intervalo físico esperado: T_{\text{água,out}} < T_{\text{óleo,in}}áó (típico de trocador contracorrente com esta efetividade).

Resposta

T_{\text{óleo,out}} = 349{,}03\\ \mathrm{K}ó
T_{\text{água,out}} = 312{,}31\\ \mathrm{K}á

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