Questão 5(2,0) : Encontre o intervalo de convergência da série de potências abaixo
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(4 x+2)^{n}}{n^{2} 2^{n}}

Passo 1

O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(4x+2)^{n}}{n^{2}2^{n}}.
Informações dadas e o que é pedido:
  • A série é dada pelo termo geral \dfrac{(4x+2)^{n}}{n^{2}2^{n}} para n=1,2,\dots.
  • A incógnita é x\in\mathbb{R}.
  • Precisa-se determinar para quais valores de x a série converge (intervalo de convergência).

Passo 2

Simplificar a expressão para reconhecer uma forma padrão. Factorizando a potência:
\frac{(4x+2)^{n}}{2^{n}}=\bigg(\frac{4x+2}{2}\bigg)^{n}=(2x+1)^{n}.
Portanto a série pode ser escrita como
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2x+1)^{n}}{n^{2}}.
Para facilitar a análise, faça a mudança de variável \,t=2x+1\,. A série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{t^{n}}{n^{2}}.

Passo 3

Determinar o raio de convergência em t usando o critério da raiz (ou o critério da razão). Vou usar o critério da raiz: para termos a_{n}=\dfrac{t^{n}}{n^{2}},
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|} =\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{|t|^{n}}{n^{2}}} =|t|\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^{2/n}}.
Como \lim_{n\to\infty}n^{2/n}=1, obtemos
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_{n}|}=|t|.
Pelo critério da raiz, a série converge absolutamente se |t|<1, diverge se |t|>1, e é caso crítico quando |t|=1.
Breve explicação do critério da raiz: ele diz que se \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=L então a série \sum a_n converge absolutamente se L<1 e diverge se L>1. Aqui o L saiu igual a |t|.

Passo 4

Voltar para a variável x. A condição |t|<1 é |2x+1|<1. Resolver essa desigualdade:
-1<2x+1<1 \quad\Longrightarrow\quad -2<2x<0 \quad\Longrightarrow\quad -1<x<0.
Logo, para todos os x tais que -1<x<0 a série converge absolutamente (portanto converge).

Passo 5

Verificar os extremos da desigualdade (os pontos críticos) separadamente.
  1. Para x=0: tem-se t=2\cdot0+1=1 e a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1^{n}}{n^{2}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}.
Essa é uma série p com p=2>1, conhecida por convergir (soma igual a \zeta(2), mas não é preciso o valor). Portanto a série converge em x=0.
  1. Para x=-1: tem-se t=2(-1)+1=-1 e a série fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}.
Tomando valores absolutos obtém-se \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{2}}, que converge; assim a série original converge absolutamente em x=-1 (e portanto converge).
Lembrete rápido: se uma série converge absolutamente num ponto, ela converge nesse ponto; aqui a comparação com a série \sum 1/n^{2} mostra convergência absoluta nos dois extremos.

Passo 6

Resumo da análise (sem repetir a resposta final explícita): a condição interior |2x+1|<1 dá convergência absoluta e as verificações em x=0 e x=-1 mostram que os dois extremos também convergem, portanto ambos são incluídos no intervalo de convergência.

Resposta

[-1,0]

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