Questão
: Encontre o intervalo de convergência da série de potências abaixo
Passo 1
O enunciado pede o intervalo de convergência da série de potências
Informações dadas e o que é pedido:
- A série é dada pelo termo geral
para . - A incógnita é
. - Precisa-se determinar para quais valores de
a série converge (intervalo de convergência).
Passo 2
Simplificar a expressão para reconhecer uma forma padrão. Factorizando a potência:
Portanto a série pode ser escrita como
Para facilitar a análise, faça a mudança de variável
. A série fica
Passo 3
Determinar o raio de convergência em
usando o critério da raiz (ou o critério da razão). Vou usar o critério da raiz: para termos
,
Como
, obtemos
Pelo critério da raiz, a série converge absolutamente se
, diverge se
, e é caso crítico quando
.
Breve explicação do critério da raiz: ele diz que se
então a série
converge absolutamente se
e diverge se
. Aqui o
saiu igual a
.
Passo 4
Voltar para a variável
. A condição
é
. Resolver essa desigualdade:
Logo, para todos os
tais que
a série converge absolutamente (portanto converge).
Passo 5
Verificar os extremos da desigualdade (os pontos críticos) separadamente.
- Para
: tem-se e a série fica
Essa é uma série p com
, conhecida por convergir (soma igual a
, mas não é preciso o valor). Portanto a série converge em
.
- Para
: tem-se e a série fica
Tomando valores absolutos obtém-se
, que converge; assim a série original converge absolutamente em
(e portanto converge).
Lembrete rápido: se uma série converge absolutamente num ponto, ela converge nesse ponto; aqui a comparação com a série
mostra convergência absoluta nos dois extremos.
Passo 6
Resumo da análise (sem repetir a resposta final explícita): a condição interior
dá convergência absoluta e as verificações em
e
mostram que os dois extremos também convergem, portanto ambos são incluídos no intervalo de convergência.