Questão 07. A reta r de equação
r: x-1a=yb=z-2
é paralela à reta que passa pelo ponto A(-1,0,0) e é simultaneamente ortogonal às retas
r1:c x=-t y=-2 t+3 z=3 t-1 e r2:c x=s y=s z=2 s
Encontre a e b.

Passo 1

O enunciado dá a reta r com equação r:x-1a=yb=z-2, então o vetor diretor de r é (a,b,-2). Precisamos achar a e b sabendo que r é paralela a uma reta que passa por A(-1,0,0) e é ortogonal simultaneamente às retas r₁ e r₂. O conteúdo envolve vetores diretores, condição de ortogonalidade e de paralelismo.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores das retas dadas: para r₁, da parametrização x=-t, y=-2t+3, z=3t-1 vem vec v1=(-1,-2,3); para r₂, de x=s, y=s, z=2s vem vec v2=(1,1,2).

Passo 3

Uma reta ortogonal a r₁ e r₂ terá vetor diretor dado pelo produto vetorial vec d=vec v1timesvec v2. Calculando, temos:
vec d= i & j & k -1 & -2 & 3 1 & 1 & 2 =(-7,,5,,1)

Passo 4

Para que r seja paralela a essa reta, seu vetor diretor (a,b,-2) deve ser colinear com (-7,5,1), ou seja, existe k tal que
(a,b,-2)=k(-7,5,1)
Da terceira componente temos -2=kcdot1 logo k=-2. Substituindo nas outras componentes, a=-7k=14 e b=5k=-10.

Resposta

a = 14, b = -10

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