Sejam
A=(3,4,0); B=(3,6,0); C=(1,4,0); D=(1,6,0); E=(3,4,2); F=(3,6,2); G=(1,4,2); H=(1,6,2);
Calcule
(u, v, w) é LI ou LD? É base? Por quê?

Passo 1

O enunciado nos dá oito pontos em R^3 que são vértices de um paralelepípedo retangular. Definimos três vetores que são arestas concorrentes em A=(3,4,0):
u = AB, v = AC, w = AE
O conteúdo aqui é Álgebra Linear: verificar se u,v,w é LI (linearmente independente) e se forma base de R^3.

Passo 2

Calculemos as coordenadas desses vetores:
u = B - A = (3,6,0)-(3,4,0) = (0,2,0),
v = C - A = (1,4,0)-(3,4,0) = (-2,0,0),
w = E - A = (3,4,2)-(3,4,0) = (0,0,2)

Passo 3

Para testar linearidade, consideramos a combinação
alphau + betav + gammaw = (0,0,0)
Em coordenadas isso dá o sistema
(0alpha -2beta +0gamma,;2alpha+0beta+0gamma,;0alpha+0beta+2gamma)=(0,0,0),
isto é
-2beta = 0, 2alpha = 0, 2gamma = 0 Longrightarrow alpha=beta=gamma=0
Só a solução trivial existe, logo os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Em , qualquer conjunto de três vetores linearmente independentes é uma base, pois a dimensão do espaço é 3. Alternativamente, podemos ver que
confirmando que formam base.

Resposta

Os vetores u,v,w são linearmente independentes e, por serem três vetores LI em R^3, formam uma base de R^3.

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