Questão-07 - (UnirG TO)

Inovação vem sendo apontado como assunto estratégico para o crescimento econômico e desenvolvimento social dos países. Um workshop com o objetivo de discutir políticas públicas para incentivar a inovação contou com a participação 120 especialistas no assunto, os quais apresentaram diversas propostas que foram agrupadas em três importantes áreas: investimento em pesquisa e desenvolvimento, apoio às startups e propriedade industrial.
Os dados coletados no evento mostram que cinquenta especialistas apresentaram propostas na área de investimento em pesquisa e desenvolvimento, setenta apresentaram propostas voltadas para apoio às startups e oitenta apresentaram propostas na área de propriedade industrial. Sabendo-se que 30 especialistas apresentaram propostas para as três áreas, a quantidade de especialistas que apresentaram propostas em, exatamente, duas das três áreas discutidas do evento é
a) 15
b) 25
c) 20
d) 30

Passo 1

O enunciado fornece os dados do workshop e pede a quantidade de especialistas que apresentaram propostas em exatamente duas das três áreas. Informações dadas:
  • Total de especialistas: 120.
  • Número que apresentaram propostas em investimento em pesquisa e desenvolvimento: 50.
  • Número que apresentaram propostas em apoio às startups: 70.
  • Número que apresentaram propostas em propriedade industrial: 80.
  • Número que apresentaram propostas nas três áreas (interseção tripla): 30.
A pergunta: qual a quantidade de especialistas que apresentaram propostas em exatamente duas das três áreas?

Passo 2

Definir conjuntos e variáveis (para organizar as contas):
  • Seja A o conjunto de especialistas que apresentaram propostas em pesquisa e desenvolvimento. Então |A|=50.
  • Seja B o conjunto de especialistas que apresentaram propostas em apoio às startups. Então |B|=70.
  • Seja C o conjunto de especialistas que apresentaram propostas em propriedade industrial. Então |C|=80.
  • Seja t o número de especialistas que apresentaram nas três áreas, ou seja t=|A\cap B\cap C|=30.
  • Denotar a soma das interseções par a par por
S_{\text{pares}}=|A\cap B|+|A\cap C|+|B\cap C|.
  • Denotar o número de especialistas que participaram em exatamente duas áreas por S_{\text{ex2}}. Nosso objetivo é encontrar S_{\text{ex2}}.

Passo 3

Explicar a fórmula de inclusão-exclusão (motivação e o que cada termo significa):
A fórmula de inclusão-exclusão para três conjuntos diz que o número de elementos que pertencem à união A\cup B\cup C é dado por
|A\cup B\cup C| = |A| + |B| + |C| - \big(|A\cap B|+|A\cap C|+|B\cap C|\big) + |A\cap B\cap C|.
O motivo: ao somar |A|+|B|+|C| cada elemento que está em duas interseções é contado duas vezes e cada elemento que está nas três é contado três vezes; subtrai-se as interseções par-a-par para corrigir duplicações, mas isso subtrai demais os elementos que estavam nas três (foram subtraídos três vezes), por isso adiciona-se uma vez |A\cap B\cap C| para ajustar.
No nosso contexto assumimos que todos os 120 especialistas apresentaram pelo menos uma proposta (ou seja, a união dos conjuntos cobre os 120); então
|A\cup B\cup C| = 120.

Passo 4

Usar a fórmula de inclusão-exclusão para encontrar S_{\text{pares}}.
Substituindo os valores conhecidos na fórmula:
120 = 50 + 70 + 80 - S_{\text{pares}} + 30.
Agora simplificar o lado direito:
50+70+80=200,\quad 200+30=230,
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120 = 230 - S_{\text{pares}}.
Isolando S_{\text{pares}}:
S_{\text{pares}} = 230 - 120 = 110.

Passo 5

Relacionar S_{\text{pares}} com o número de elementos que pertencem exatamente a duas áreas:
Cada interseção par |A\cap B| conta também os elementos que estão nas três áreas (que são t). Para obter apenas os que estão em exatamente duas áreas precisamos subtrair a parte tripla de cada interseção par. Assim:
S_{\text{ex2}} = (|A\cap B|-t) + (|A\cap C|-t) + (|B\cap C|-t).
Agrupando,
S_{\text{ex2}} = \big(|A\cap B|+|A\cap C|+|B\cap C|\big) - 3t = S_{\text{pares}} - 3t.
Essa fórmula tem sentido porque cada especialista que está nas três áreas foi contado em todas as três interseções par-a-par, ou seja, contribui com 3 para S_{\text{pares}}, mas não deve entrar em S_{\text{ex2}}.

Passo 6

Calcular S_{\text{ex2}} usando os valores que já achamos:
Temos S_{\text{pares}}=110 (do Passo 4) e t=30. Então
S_{\text{ex2}} = 110 - 3\cdot 30 = 110 - 90 = 20.

Resposta

c) 20

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