Questão-07 - (UnirG TO)
Inovação vem sendo apontado como assunto estratégico para o crescimento econômico e desenvolvimento social dos países. Um workshop com o objetivo de discutir políticas públicas para incentivar a inovação contou com a participação 120 especialistas no assunto, os quais apresentaram diversas propostas que foram agrupadas em três importantes áreas: investimento em pesquisa e desenvolvimento, apoio às startups e propriedade industrial.
Os dados coletados no evento mostram que cinquenta especialistas apresentaram propostas na área de investimento em pesquisa e desenvolvimento, setenta apresentaram propostas voltadas para apoio às startups e oitenta apresentaram propostas na área de propriedade industrial. Sabendo-se que 30 especialistas apresentaram propostas para as três áreas, a quantidade de especialistas que apresentaram propostas em, exatamente, duas das três áreas discutidas do evento é
a) 15
b) 25
c) 20
d) 30
Os dados coletados no evento mostram que cinquenta especialistas apresentaram propostas na área de investimento em pesquisa e desenvolvimento, setenta apresentaram propostas voltadas para apoio às startups e oitenta apresentaram propostas na área de propriedade industrial. Sabendo-se que 30 especialistas apresentaram propostas para as três áreas, a quantidade de especialistas que apresentaram propostas em, exatamente, duas das três áreas discutidas do evento é
a) 15
b) 25
c) 20
d) 30
Passo 1
O enunciado fornece os dados do workshop e pede a quantidade de especialistas que apresentaram propostas em exatamente duas das três áreas. Informações dadas:
- Total de especialistas:
. - Número que apresentaram propostas em investimento em pesquisa e desenvolvimento:
. - Número que apresentaram propostas em apoio às startups:
. - Número que apresentaram propostas em propriedade industrial:
. - Número que apresentaram propostas nas três áreas (interseção tripla):
.
A pergunta: qual a quantidade de especialistas que apresentaram propostas em exatamente duas das três áreas?
Passo 2
Definir conjuntos e variáveis (para organizar as contas):
- Seja
o conjunto de especialistas que apresentaram propostas em pesquisa e desenvolvimento. Então . - Seja
o conjunto de especialistas que apresentaram propostas em apoio às startups. Então . - Seja
o conjunto de especialistas que apresentaram propostas em propriedade industrial. Então . - Seja
o número de especialistas que apresentaram nas três áreas, ou seja . - Denotar a soma das interseções par a par por
- Denotar o número de especialistas que participaram em exatamente duas áreas por
. Nosso objetivo é encontrar .
Passo 3
Explicar a fórmula de inclusão-exclusão (motivação e o que cada termo significa):
A fórmula de inclusão-exclusão para três conjuntos diz que o número de elementos que pertencem à união é dado por
A fórmula de inclusão-exclusão para três conjuntos diz que o número de elementos que pertencem à união
O motivo: ao somar
cada elemento que está em duas interseções é contado duas vezes e cada elemento que está nas três é contado três vezes; subtrai-se as interseções par-a-par para corrigir duplicações, mas isso subtrai demais os elementos que estavam nas três (foram subtraídos três vezes), por isso adiciona-se uma vez
para ajustar.
No nosso contexto assumimos que todos os
especialistas apresentaram pelo menos uma proposta (ou seja, a união dos conjuntos cobre os
); então
Passo 4
Usar a fórmula de inclusão-exclusão para encontrar
.
Substituindo os valores conhecidos na fórmula:
Substituindo os valores conhecidos na fórmula:
Agora simplificar o lado direito:
logo
Isolando
:
Passo 5
Relacionar
com o número de elementos que pertencem exatamente a duas áreas:
Cada interseção par conta também os elementos que estão nas três áreas (que são
). Para obter apenas os que estão em exatamente duas áreas precisamos subtrair a parte tripla de cada interseção par. Assim:
Cada interseção par
Agrupando,
Essa fórmula tem sentido porque cada especialista que está nas três áreas foi contado em todas as três interseções par-a-par, ou seja, contribui com 3 para
, mas não deve entrar em
.
Passo 6
Calcular
usando os valores que já achamos:
Temos (do Passo 4) e
. Então
Temos
Resposta
c)