Questão-09 - (UFT TO)

A Faculdade de Matemática de um Centro Universitário com 400 acadêmicos propôs a oferta de dois cursos opcionais: Yoga e Pilates, para estimular a prática de atividades que promovam benefícios à saúde física e mental. Obteve-se o seguinte resultado em relação às matrículas nos cursos: 250 matricularam-se em Pilates, 200 matricularam-se em Yoga e 150 matricularam-se em ambos os cursos.
Assinale a alternativa CORRETA que indica o número de acadêmicos que não se matricularam nesses cursos:
a) \mathbf{1 0 0}
b) 150
c) 200
d) 250

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido.
  • Total de acadêmicos: 400.
  • Matriculados em Pilates: 250.
  • Matriculados em Yoga: 200.
  • Matriculados em ambos (Pilates e Yoga): 150.
O que a questão pede: determinar o número de acadêmicos que NÃO se matricularam em nenhum dos dois cursos (ou seja, que não estão em Pilates nem em Yoga).

Passo 2

Vamos organizar as informações usando conjuntos — isso ajuda a ver o problema com clareza.
  • Seja P o conjunto de alunos matriculados em Pilates e Y o conjunto de alunos matriculados em Yoga.
  • O conjunto de alunos matriculados em pelo menos um dos cursos é P\cup Y.
  • O número de elementos de um conjunto será denotado por |\cdot|, por exemplo |P| é o número de alunos em Pilates.
A fórmula básica para dois conjuntos é a fórmula da inclusão-exclusão:
|P\cup Y| = |P| + |Y| - |P\cap Y|.
Explicação intuitiva: somando |P| e |Y| contamos duas vezes os alunos que estão em ambos; por isso subtraímos |P\cap Y| para ajustar.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os números dados:
|P\cup Y| = |P| + |Y| - |P\cap Y|
|P\cup Y| = \(250\) + \(200\) - \(150\).
Faço as contas passo a passo:
\(250\) + \(200\) = \(450\),
\(450\) - \(150\) = \(300\).
Logo, |P\cup Y| = \(300 ). Isto significa que 300 alunos se matricularam em pelo menos um dos cursos.

Passo 4

Agora o que sobra são os alunos que não se matricularam em nenhum dos cursos. Como o total é 400, o número desejado é
\text{não matriculados} = \text{total} - |P\cup Y| = \(400\) - \(300\).
Realizando a subtração:
\(400\) - \(300\) = \(100\).

Passo 5

Checagem alternativa (modo Venn/partes):
  • Só Pilates = |P| - |P\cap Y| = \(250 - 150 = 100,.
  • Só Yoga = |Y| - |P\cap Y| = \(200 - 150 = 50,.
  • Ambos = 150,.
    Somando essas partes: 100 + 50 + 150 = 300 (alunos em pelo menos um curso), logo 400-300=100 não se matricularam — bate com o cálculo anterior.
Dica para prova: sempre pense em preencher as três regiões do diagrama de Venn (só A, só B, ambos). Se der os totais e a interseção, é quase imediato.)

Resposta

a) 100

Exercícios relacionados