Questão-10 - (UFT TO)
Considere o conjunto
formado por números naturais, dispostos em ordem não decrescente. Sabendo que a moda do conjunto é 7, a mediana é 9 e a média aritmética é 12, assinale a alternativa CORRETA que se refere aos valores de
e Z , respectivamente.
a) 7, 11 e 29
b) 8, 12 e 30
c) 7, 12 e 29
d) 8, 11 e 29
a) 7, 11 e 29
b) 8, 12 e 30
c) 7, 12 e 29
d) 8, 11 e 29
Passo 1
O enunciado dá o conjunto em ordem não decrescente
e informa três condições:
- a moda é
; - a mediana é
; - a média aritmética é
.
O que se pede: determinar os valores de
e
(há opções múltipla escolha).
Passo 2
Explicando mediana (passo didático): para uma amostra com número par de elementos, a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais. Aqui há
elementos, então os elementos centrais são o 5.º e o 6.º, que são
e
. Logo
Multiplicando por
obtemos a relação útil
Passo 3
Explicando média (passo didático): a média aritmética de
números é a soma dos números dividida por
. Aqui a média é
e
, portanto a soma total dos dez números é
Agora somo os valores já conhecidos (mostrando contas passo a passo):
Assim, a soma dos três incógnitos é
Passo 4
Combino as duas relações obtidas:
Subtraindo a primeira da segunda vem
Passo 5
Agora uso a condição da moda (passo didático): a moda é o valor que aparece com maior frequência. No conjunto já aparece um único
(na quarta posição). Para que a moda seja
é necessário que haja pelo menos mais uma ocorrência de
e que nenhum outro número apareça com frequência maior.
Como já encontramos
, restam
e
para repetir o
. Pela relação
, se um deles for
o outro deve ser
:
A ordenação não decrescente exige
. Portanto a única possibilidade com um
em posição anterior à de
é
Isso cria exatamente duas ocorrências de
(a original e
), nenhuma outra repetição maior, logo a moda é
, conforme exigido. Verificação rápida: todas as condições (mediana, média e moda) ficam satisfeitas e a ordenação é respeitada.
Passo 6
Conclusão:
, que corresponde à alternativa correta.
Resposta
a)