Questão-10 - (UFT TO)

Considere o conjunto \{1,3,4,7, \mathrm{X}, \mathrm{Y}, 18,19,21, \mathrm{Z}\} formado por números naturais, dispostos em ordem não decrescente. Sabendo que a moda do conjunto é 7, a mediana é 9 e a média aritmética é 12, assinale a alternativa CORRETA que se refere aos valores de \mathrm{X}, \mathrm{Y} e Z , respectivamente.
a) 7, 11 e 29
b) 8, 12 e 30
c) 7, 12 e 29
d) 8, 11 e 29

Passo 1

O enunciado dá o conjunto em ordem não decrescente
\{1,3,4,7,\mathrm{X},\mathrm{Y},18,19,21,\mathrm{Z}\} e informa três condições:
  • a moda é \,7;
  • a mediana é \,9;
  • a média aritmética é \,12.
O que se pede: determinar os valores de \mathrm{X},\mathrm{Y} e \mathrm{Z} (há opções múltipla escolha).

Passo 2

Explicando mediana (passo didático): para uma amostra com número par de elementos, a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais. Aqui há 10 elementos, então os elementos centrais são o 5.º e o 6.º, que são \mathrm{X} e \mathrm{Y}. Logo
\frac{\mathrm{X}+\mathrm{Y}}{2}=9.
Multiplicando por 2 obtemos a relação útil
\mathrm{X}+\mathrm{Y}=18.

Passo 3

Explicando média (passo didático): a média aritmética de n números é a soma dos números dividida por n. Aqui a média é \,12 e n=10, portanto a soma total dos dez números é
10\cdot 12 = 120.
Agora somo os valores já conhecidos (mostrando contas passo a passo):
1+3+4+7+18+19+21 = 73.
Assim, a soma dos três incógnitos é
\mathrm{X}+\mathrm{Y}+\mathrm{Z}=120-73=47.

Passo 4

Combino as duas relações obtidas:
\mathrm{X}+\mathrm{Y}=18, \qquad \mathrm{X}+\mathrm{Y}+\mathrm{Z}=47.
Subtraindo a primeira da segunda vem
\mathrm{Z}=47-18=29.

Passo 5

Agora uso a condição da moda (passo didático): a moda é o valor que aparece com maior frequência. No conjunto já aparece um único 7 (na quarta posição). Para que a moda seja 7 é necessário que haja pelo menos mais uma ocorrência de 7 e que nenhum outro número apareça com frequência maior.
Como já encontramos \mathrm{Z}=29, restam \mathrm{X} e \mathrm{Y} para repetir o 7. Pela relação \mathrm{X}+\mathrm{Y}=18, se um deles for 7 o outro deve ser 11:
7 + 11 = 18.
A ordenação não decrescente exige \mathrm{X}\le \mathrm{Y}. Portanto a única possibilidade com um 7 em posição anterior à de 11 é
\mathrm{X}=7,\qquad \mathrm{Y}=11.
Isso cria exatamente duas ocorrências de 7 (a original e \mathrm{X}), nenhuma outra repetição maior, logo a moda é 7, conforme exigido. Verificação rápida: todas as condições (mediana, média e moda) ficam satisfeitas e a ordenação é respeitada.

Passo 6

Conclusão: \mathrm{X}=7,\\ \mathrm{Y}=11,\\ \mathrm{Z}=29, que corresponde à alternativa correta.

Resposta

a) 7, 11 \text{ e } 29

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