Seja
uma variável aleatória normalmente distribuída com média
e variância conhecida
, da qual se obtém a amostra aleatória
(com
observações). Indique se a alternativa é verdadeira ou falsa. Caso seja falsa, justifique sua resposta.
(a) A média amostral é uma variável aleatória normalmente distribuída com média
e variância
.
(b) A probabilidade de o intervalo de confiança
conter a média da população,
, é de
.
(c) A probabilidade de o intervalo de confiança
conter a média amostral é de
.
(d) O intervalo de
para a média populacional independe do tamanho da amostra.
(e) Em um intervalo de confiança de
para a média populacional,
, espera-se que, extraindo-se todas as amostras de mesmo tamanho dessa população, esse intervalo conterá
das vezes.
(a) A média amostral é uma variável aleatória normalmente distribuída com média
(b) A probabilidade de o intervalo de confiança
(c) A probabilidade de o intervalo de confiança
(d) O intervalo de
(e) Em um intervalo de confiança de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede que eu diga se cada alternativa é verdadeira ou falsa (e justifique quando for falsa):
- Dado:
é normal com média e variância conhecida . - Amostra:
são observações i.i.d. de . - Definição usada com frequência: a média amostral é
.
Perguntas:
(a) Afirmar se é normal com média
e variância
.
(b) A probabilidade de o intervalo conter
é
.
(c) A probabilidade de o intervalo acima conter é
.
(d) Se o intervalo de para
independe do tamanho da amostra.
(e) Interpretação de que, extraindo-se todas as amostras de mesmo tamanho, esse intervalo conterá em
das vezes.
(a) Afirmar se
(b) A probabilidade de o intervalo
(c) A probabilidade de o intervalo acima conter
(d) Se o intervalo de
(e) Interpretação de que, extraindo-se todas as amostras de mesmo tamanho, esse intervalo conterá
Passo 2
Vamos estudar a distribuição de
e responder (a).
Primeiro, definição e propriedades que vou usar (explicando passo a passo):
- Cada
tem distribuição . Isso significa que cada é uma variável aleatória contínua cuja densidade é a da normal com média e variância . - A média amostral é a combinação linear das
:
- Propriedade importante (que vou usar): uma combinação linear de variáveis normais independentes é normal. Ou seja, se cada
é normal e são independentes, então também é normal.
Agora calculemos a esperança e a variância de
(mostrando as contas):
- Esperança:
Explicação: usamos linearidade da esperança e que cada
.
- Variância:
Explicação: usamos independência para somar variâncias e
.
Como
é combinação linear de normais independentes, concluímos que
Conclusão do item (a): a afirmação é verdadeira.
Passo 3
Agora construímos o argumento para (b), mostrando detalhadamente por que a probabilidade é
.
Passo pedagógico: padronização (transformar em normal padrão).
- Se
, então a variável padronizada
tem distribuição
(normal padrão).
O evento “o intervalo
contém
” pode ser escrito assim:
isso é equivalente a
Subtraindo
e dividindo por
(que é positivo) transformamos para
:
Observação: note que
e o sinal trocado aparece porque eu usei
em vez de
; o que importa é o valor absoluto.
Sabemos da tabela da normal padrão que
Portanto
Conclusão do item (b): a afirmação é verdadeira. Explicação conceitual curta: o intervalo foi construído exatamente para ter cobertura
quando
é conhecida e igual a
.
Passo 4
Item (c): avaliar a probabilidade de o intervalo conter a própria média amostral
.
Observação simples e direta (passo a passo):
- O intervalo em questão é centrado em
: seus extremos são e . - Assim, por construção,
está exatamente no centro do intervalo, logo pertence sempre ao intervalo (com probabilidade ).
Formalizando:
Conclusão do item (c): a afirmação “a probabilidade é
” é falsa — a probabilidade é
(ou
).
Comentário didático: confundir “conter
” com “conter
” é erro comum; o primeiro é incerto (depende da amostra), o segundo é trivial porque o intervalo é centrado na estatística
.
Passo 5
Item (d): verificar se o intervalo de
para
independe do tamanho da amostra.
Vamos analisar a largura do intervalo e como ela depende de
:
- O intervalo dado é
. - O comprimento total (largura) do intervalo é
Isso mostra explicitamente dependência em
: à medida que
aumenta,
cresce e a largura diminui. Logo o intervalo depende do tamanho da amostra.
Exemplos numéricos (para intuir):
- Se
, largura = . - Se
, largura = .
Portanto, com amostras maiores o intervalo fica mais estreito (melhor precisão). Além disso, se
fosse desconhecida usaríamos a distribuição
e o quantil também depende de
, reforçando a dependência.
Conclusão do item (d): a afirmação é falsa.
Passo 6
Item (e): interpretar o enunciado e verificar se está correto.
O enunciado diz, em essência: “Em um intervalo de confiança de
para
, ao extrair repetidamente todas as amostras de mesmo tamanho, espera-se que esse procedimento (construir o intervalo para cada amostra) produza intervalos que contenham
em
das vezes.”
Explicação didática do conceito de intervalo de confiança (frequentista):
- O parâmetro
é fixo (não aleatório). O que é aleatório é o intervalo, porque depende da amostra via . - A probabilidade de
associada ao intervalo significa que se repetirmos o procedimento (tomar uma amostra do mesmo tamanho, calcular o intervalo com a mesma regra) muitas vezes, a fração desses intervalos que irá conter o verdadeiro tenderá para . - Já provamos no Passo 3 que para cada amostra aleatória a probabilidade (tomada sob o acaso da amostra) de o intervalo conter
é . Isso é exatamente a afirmação de cobertura em longo prazo.
Portanto a frase do item (e) expressa corretamente a interpretação frequentista do intervalo de confiança de
.
Conclusão do item (e): a afirmação é verdadeira.
Resposta
a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Falsa
e) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Falsa
e) Verdadeira