Seja X uma variável aleatória normalmente distribuída com média \mu e variância conhecida \sigma^{2}=1, da qual se obtém a amostra aleatória X_{1}, X_{2}, X_{3}, \ldots \ldots, X_{n} (com n observações). Indique se a alternativa é verdadeira ou falsa. Caso seja falsa, justifique sua resposta.
(a) A média amostral é uma variável aleatória normalmente distribuída com média \mu e variância 1 / n.
(b) A probabilidade de o intervalo de confiança [\bar{X}-1,96 / \sqrt{n} ; \bar{X}+1,96 / \sqrt{n}] conter a média da população, \mu, é de 95 \%.
(c) A probabilidade de o intervalo de confiança [\bar{X}-1,96 / \sqrt{n} ; \bar{X}+1,96 / \sqrt{n}] conter a média amostral é de 95 \%.
(d) O intervalo de 95 \% para a média populacional independe do tamanho da amostra.
(e) Em um intervalo de confiança de 95 \% para a média populacional, \mu, espera-se que, extraindo-se todas as amostras de mesmo tamanho dessa população, esse intervalo conterá \mu 95 \% das vezes.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede que eu diga se cada alternativa é verdadeira ou falsa (e justifique quando for falsa):
  • Dado: X é normal com média \mu e variância conhecida \sigma^{2}=1.
  • Amostra: X_{1},X_{2},\dots,X_{n} são n observações i.i.d. de X.
  • Definição usada com frequência: a média amostral é \bar{X}=\dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}.
Perguntas:
(a) Afirmar se \bar{X} é normal com média \mu e variância 1/n.
(b) A probabilidade de o intervalo [\bar{X}-1{,}96/\sqrt{n}\;;\;\bar{X}+1{,}96/\sqrt{n}] conter \mu é 95\%.
(c) A probabilidade de o intervalo acima conter \bar{X} é 95\%.
(d) Se o intervalo de 95\% para \mu independe do tamanho da amostra.
(e) Interpretação de que, extraindo-se todas as amostras de mesmo tamanho, esse intervalo conterá \mu em 95\% das vezes.

Passo 2

Vamos estudar a distribuição de \bar{X} e responder (a).
Primeiro, definição e propriedades que vou usar (explicando passo a passo):
  • Cada X_{i} tem distribuição \mathcal{N}(\mu,1). Isso significa que cada X_{i} é uma variável aleatória contínua cuja densidade é a da normal com média \mu e variância 1.
  • A média amostral é a combinação linear das X_{i}:
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}.
  • Propriedade importante (que vou usar): uma combinação linear de variáveis normais independentes é normal. Ou seja, se cada X_{i} é normal e são independentes, então \bar{X} também é normal.
Agora calculemos a esperança e a variância de \bar{X} (mostrando as contas):
  • Esperança:
\mathbb{E}[\bar{X}]=\mathbb{E}\!\left[\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\right]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\mathbb{E}[X_{i}] =\frac{1}{n}\cdot n\mu=\mu.
Explicação: usamos linearidade da esperança e que cada \mathbb{E}[X_{i}]=\mu.
  • Variância:
\operatorname{Var}(\bar{X})=\operatorname{Var}\!\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_{i}\right) =\frac{1}{n^{2}}\sum_{i=1}^{n}\operatorname{Var}(X_{i}) =\frac{1}{n^{2}}\cdot n\cdot 1=\frac{1}{n}.
Explicação: usamos independência para somar variâncias e \operatorname{Var}(X_{i})=1.
Como \bar{X} é combinação linear de normais independentes, concluímos que
\bar{X}\sim\mathcal{N}\!\left(\mu,\frac{1}{n}\right).
Conclusão do item (a): a afirmação é verdadeira.

Passo 3

Agora construímos o argumento para (b), mostrando detalhadamente por que a probabilidade é 95\%.
Passo pedagógico: padronização (transformar em normal padrão).
  • Se \bar{X}\sim\mathcal{N}\!\left(\mu,\dfrac{1}{n}\right), então a variável padronizada
Z=\frac{\bar{X}-\mu}{\sqrt{1/n}}=\sqrt{n}\,(\bar{X}-\mu)
tem distribuição Z\sim\mathcal{N}(0,1) (normal padrão).
O evento “o intervalo [\bar{X}-1{,}96/\sqrt{n},\;\bar{X}+1{,}96/\sqrt{n}] contém \mu” pode ser escrito assim:
\mu \in [\bar{X}-1{,}96/\sqrt{n},\;\bar{X}+1{,}96/\sqrt{n}]
isso é equivalente a
\bar{X}-\frac{1{,}96}{\sqrt{n}}\le \mu \le \bar{X}+\frac{1{,}96}{\sqrt{n}}.
Subtraindo \bar{X} e dividindo por \sqrt{1/n} (que é positivo) transformamos para Z:
-\frac{1{,}96}{\sqrt{1/n}}\le \frac{\mu-\bar{X}}{\sqrt{1/n}}\le \frac{1{,}96}{\sqrt{1/n}} \quad\Longleftrightarrow\quad -1{,}96 \le Z \le 1{,}96.
Observação: note que \dfrac{1{,}96}{\sqrt{1/n}}=1{,}96\cdot\sqrt{n} e o sinal trocado aparece porque eu usei \mu-\bar{X} em vez de \bar{X}-\mu; o que importa é o valor absoluto.
Sabemos da tabela da normal padrão que
\mathbb{P}(-1{,}96\le Z\le 1{,}96)=0{,}95.
Portanto
\mathbb{P}\bigl(\mu\in[\bar{X}-1{,}96/\sqrt{n},\;\bar{X}+1{,}96/\sqrt{n}]\bigr)=0{,}95.
Conclusão do item (b): a afirmação é verdadeira. Explicação conceitual curta: o intervalo foi construído exatamente para ter cobertura 95\% quando \sigma é conhecida e igual a 1.

Passo 4

Item (c): avaliar a probabilidade de o intervalo conter a própria média amostral \bar{X}.
Observação simples e direta (passo a passo):
  • O intervalo em questão é centrado em \bar{X}: seus extremos são \bar{X}-1{,}96/\sqrt{n} e \bar{X}+1{,}96/\sqrt{n}.
  • Assim, por construção, \bar{X} está exatamente no centro do intervalo, logo \bar{X} pertence sempre ao intervalo (com probabilidade 1).
Formalizando:
\mathbb{P}\bigl(\bar{X}\in[\bar{X}-1{,}96/\sqrt{n},\;\bar{X}+1{,}96/\sqrt{n}]\bigr)=1.
Conclusão do item (c): a afirmação “a probabilidade é 95\%” é falsa — a probabilidade é 100\% (ou 1).
Comentário didático: confundir “conter \mu” com “conter \bar{X}” é erro comum; o primeiro é incerto (depende da amostra), o segundo é trivial porque o intervalo é centrado na estatística \bar{X}.

Passo 5

Item (d): verificar se o intervalo de 95\% para \mu independe do tamanho da amostra.
Vamos analisar a largura do intervalo e como ela depende de n:
  • O intervalo dado é [\bar{X}-1{,}96/\sqrt{n},\;\bar{X}+1{,}96/\sqrt{n}].
  • O comprimento total (largura) do intervalo é
\text{largura}=2\cdot\frac{1{,}96}{\sqrt{n}}=\frac{3{,}92}{\sqrt{n}}.
Isso mostra explicitamente dependência em n: à medida que n aumenta, \sqrt{n} cresce e a largura diminui. Logo o intervalo depende do tamanho da amostra.
Exemplos numéricos (para intuir):
  • Se n=4, largura = 3{,}92/\sqrt{4}=3{,}92/2=1{,}96.
  • Se n=100, largura = 3{,}92/10=0{,}392.
Portanto, com amostras maiores o intervalo fica mais estreito (melhor precisão). Além disso, se \sigma fosse desconhecida usaríamos a distribuição t e o quantil também depende de n, reforçando a dependência.
Conclusão do item (d): a afirmação é falsa.

Passo 6

Item (e): interpretar o enunciado e verificar se está correto.
O enunciado diz, em essência: “Em um intervalo de confiança de 95\% para \mu, ao extrair repetidamente todas as amostras de mesmo tamanho, espera-se que esse procedimento (construir o intervalo para cada amostra) produza intervalos que contenham \mu em 95\% das vezes.”
Explicação didática do conceito de intervalo de confiança (frequentista):
  • O parâmetro \mu é fixo (não aleatório). O que é aleatório é o intervalo, porque depende da amostra via \bar{X}.
  • A probabilidade de 95\% associada ao intervalo significa que se repetirmos o procedimento (tomar uma amostra do mesmo tamanho, calcular o intervalo com a mesma regra) muitas vezes, a fração desses intervalos que irá conter o verdadeiro \mu tenderá para 0{,}95.
  • Já provamos no Passo 3 que para cada amostra aleatória a probabilidade (tomada sob o acaso da amostra) de o intervalo conter \mu é 0{,}95. Isso é exatamente a afirmação de cobertura em longo prazo.
Portanto a frase do item (e) expressa corretamente a interpretação frequentista do intervalo de confiança de 95\%.
Conclusão do item (e): a afirmação é verdadeira.

Resposta

a) Verdadeira
b) Verdadeira
c) Falsa
d) Falsa
e) Verdadeira

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