Questão 07.
valor da expressão
a)10
b) 9
c)
d) 0
e) -10
a)10
b) 9
c)
d) 0
e) -10
Passo 1
O enunciado dá a soma finita
Peças importantes que o enunciado fornece:
- O primeiro denominador é
, que é o mesmo que . - O último denominador é
, e , logo o último termo é . - Assim, os termos seguem o padrão
para .
O que a questão pergunta: determinar o valor numérico dessa soma (há alternativas:, , , , ).
Passo 2
Vamos transformar um termo genérico
de maneira a ficar mais simples. A técnica é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador, isto é, por
. Lembre-se da identidade básica de produtos notáveis:
Aqui tomamos
e
. Então
Passo 3
Aplicando essa ideia ao termo:
Pelo resultado do passo anterior o denominador do lado direito vale
. Portanto
Esse é o grande truque: cada fração se transforma numa diferença de duas raízes quadradas.
Passo 4
Mostre concretamente os primeiros termos usando a identidade do passo anterior:
e assim por diante até
Passo 5
Agora some todos os termos transformados (a soma telescópica):
Ao desenvolver essa soma, observe o cancelamento em cadeia:
Tudo cancela exceto o primeiro termo negativo
e o último termo positivo
. Portanto a soma reduz-se a
Passo 6
Calcule os valores finais das raízes:
logo
Assim a soma pedida vale
, que corresponde à alternativa (b).
Resposta
b) 9