Questão 07. O valor da expressão \frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+2}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{99}+10}
a)10
b) 9
c) 1 / 9
d) 0
e) -10

Passo 1

O enunciado dá a soma finita
\frac{1}{1+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+2}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{99}+10}
Peças importantes que o enunciado fornece:
  • O primeiro denominador é 1+\sqrt{2}, que é o mesmo que \sqrt{1}+\sqrt{2}.
  • O último denominador é \sqrt{99}+10, e 10=\sqrt{100}, logo o último termo é \sqrt{99}+\sqrt{100}.
  • Assim, os termos seguem o padrão \dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} para k=1,2,\ldots,99.
    O que a questão pergunta: determinar o valor numérico dessa soma (há alternativas: 10, 9, 1/9, 0, -10).

Passo 2

Vamos transformar um termo genérico \dfrac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} de maneira a ficar mais simples. A técnica é multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador, isto é, por \sqrt{k+1}-\sqrt{k}. Lembre-se da identidade básica de produtos notáveis:
(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}.
Aqui tomamos a=\sqrt{k+1} e b=\sqrt{k}. Então
(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})=(\sqrt{k+1})^{2}-(\sqrt{k})^{2}=(k+1)-k=1.

Passo 3

Aplicando essa ideia ao termo:
\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} =\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}\cdot\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}} =\frac{\sqrt{k+1}-\sqrt{k}}{(\sqrt{k+1}+\sqrt{k})(\sqrt{k+1}-\sqrt{k})}.
Pelo resultado do passo anterior o denominador do lado direito vale 1. Portanto
\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}}=\sqrt{k+1}-\sqrt{k}.
Esse é o grande truque: cada fração se transforma numa diferença de duas raízes quadradas.

Passo 4

Mostre concretamente os primeiros termos usando a identidade do passo anterior:
\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-\sqrt{1}, \qquad \frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-\sqrt{2}, \qquad \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}=\sqrt{4}-\sqrt{3},
e assim por diante até
\frac{1}{\sqrt{99}+\sqrt{100}}=\sqrt{100}-\sqrt{99}.

Passo 5

Agora some todos os termos transformados (a soma telescópica):
\sum_{k=1}^{99}\frac{1}{\sqrt{k}+\sqrt{k+1}} =\sum_{k=1}^{99}\big(\sqrt{k+1}-\sqrt{k}\big).
Ao desenvolver essa soma, observe o cancelamento em cadeia:
(\sqrt{2}-\sqrt{1})+(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{4}-\sqrt{3})+\cdots+(\sqrt{100}-\sqrt{99}).
Tudo cancela exceto o primeiro termo negativo -\sqrt{1} e o último termo positivo \sqrt{100}. Portanto a soma reduz-se a
\sqrt{100}-\sqrt{1}.

Passo 6

Calcule os valores finais das raízes:
\sqrt{100}=10,\qquad \sqrt{1}=1,
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\sqrt{100}-\sqrt{1}=10-1=9.
Assim a soma pedida vale 9, que corresponde à alternativa (b).

Resposta

b) 9

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