Questão 10. Simplificando a expressão \frac{x^{3}-1}{x^{2}-x}-\frac{x^{2}+2 x+1}{x^{2}+x} para x \in-\{-1,0,1\} obtém-se
a) x.
b) x^{2}.
c) x-1.
d) x^{2}-1.
e) n.d.a.

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{x^{3}-1}{x^{2}-x}-\frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}+x}
para x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,0,1\} (ou seja, para todos os x exceto -1,\;0,\;1).
Informações relevantes: os numeradores e denominadores são polinômios; não se pode dividir por zero, por isso os valores -1,\;0,\;1 foram excluídos. A tarefa é simplificar algébrica e corretamente, respeitando as restrições de domínio.

Passo 2

Vamos tratar a primeira fração. Primeiro lembro de uma fórmula útil (diferença de cubos): para quaisquer a e b,
a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}).
Aqui temos x^{3}-1, que é (x)^{3}-(1)^{3}. Aplicando a fórmula:
x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1).
O denominador da primeira fração é
x^{2}-x = x(x-1).
Portanto a primeira fração fica
\frac{x^{3}-1}{x^{2}-x}=\frac{(x-1)(x^{2}+x+1)}{x(x-1)}.
Como x\neq1 no domínio dado, podemos cancelar o fator (x-1), obtendo
\frac{x^{3}-1}{x^{2}-x}=\frac{x^{2}+x+1}{x}.

Passo 3

Agora a segunda fração. Observe que o numerador é um quadrado perfeito:
x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}.
O denominador é
x^{2}+x = x(x+1).
Assim a segunda fração é
\frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}+x}=\frac{(x+1)^{2}}{x(x+1)}.
Como x\neq-1 e x\neq0 no domínio, podemos cancelar um fator (x+1), ficando
\frac{x^{2}+2x+1}{x^{2}+x}=\frac{x+1}{x}.

Passo 4

Substituindo as formas simplificadas das duas frações, temos
\frac{x^{2}+x+1}{x}-\frac{x+1}{x}.
Como os denominadores são iguais ( x), juntamos as frações:
\frac{(x^{2}+x+1)-(x+1)}{x}.
Agora fazemos a subtração no numerador passo a passo: primeiro remova parênteses e combine termos:
(x^{2}+x+1)-(x+1)=x^{2}+x+1-x-1.
Os termos +x e -x se cancelam; os termos +1 e -1 também se cancelam, sobrando
x^{2}.
Logo a expressão inteira é
\frac{x^{2}}{x}.
Para x\neq0 (condição do domínio) podemos simplificar dividindo numerador e denominador por x, obtendo
x.
Portanto, para todo x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,0,1\}, a expressão simplificada é x. Se você quiser checar numericamente, pegue x=2: a expressão original dá \dfrac{8-1}{4-2}-\dfrac{4+4+1}{4+2}=\dfrac{7}{2}-\dfrac{9}{6}=\dfrac{7}{2}-\dfrac{3}{2}=2, que confirma.

Resposta

a) x.

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