QUESTÃO 08 - Calcule \Delta \mathrm{U}^{\circ} a 500 K para:
\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}_{(\mathrm{g})} \quad 2 \mathrm{H}_{(\mathrm{g})}+\mathrm{O}_{(\mathrm{g})}
Dados: (considere os gases com comportamento ideal e \mathrm{Cv}=3 \mathrm{R} para gases poliatômicos)
Substância \quad(\mathrm{kJ.mol})^{-1} )
\mathrm{OH}_{(\mathrm{g})} 38,95
\mathrm{H}_{(\mathrm{g})} 218,0
\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}_{(\mathrm{g})} -241,81
\mathrm{O}_{(\mathrm{g})} 249,17

Passo 1

O que o problema pede: calcular \Delta U^\circ à 500\\ \mathrm{K} para a reação
\mathrm{H_{2}(g)}\longrightarrow 2\,\mathrm{H_{(g)}}+\mathrm{O_{(g)}}
(na verdade o enunciado escreveu \mathrm{H_{2}O_{(g)}} como reagente; aqui eu sigo exatamente o enunciado: \mathrm{H_{2}O_{(g)}}\to 2\mathrm{H_{(g)}}+\mathrm{O_{(g)}}).\n
Informações fornecidas (valores em \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}, assumidos como entalpias-padrão de formação a 298\\ \mathrm{K}):
\begin{aligned} \Delta H_f^\circ(\mathrm{OH_{(g)}})&=38{,}95,\\\ \Delta H_f^\circ(\mathrm{H_{(g)}})&=218{,}0,\\\ \Delta H_f^\circ(\mathrm{H_{2}O_{(g)}})&=-241{,}81,\\\ \Delta H_f^\circ(\mathrm{O_{(g)}})&=249{,}17. \end{aligned}
Outras instruções: considerar gases ideais e usar \displaystyle C_v=3R para gases poliatômicos (logo C_p=C_v+R será usado). Vou assumir que H e O são monoatômicos (portanto C_v=\tfrac{3}{2}R para eles). Não peço nenhuma informação adicional.

Passo 2

Conceito essencial (a “fórmula-chave” que vamos usar): para uma reação gasosa ideal, a energia interna e a entalpia estão relacionadas por
\Delta U^\circ(T)=\Delta H^\circ(T)-\Delta n_{\mathrm{gas}}\,R\,T,
onde \Delta n_{\mathrm{gas}} é o número de mols gasosos dos produtos menos dos reagentes, R é a constante dos gases e T a temperatura em K. Explico cada termo:
  • \Delta H^\circ(T): variação de entalpia padrão da reação na temperatura T.
  • \Delta U^\circ(T): variação de energia interna padrão da reação na temperatura T.
  • \Delta n_{\mathrm{gas}}: conta-se apenas mols de gás (ex.: se reagente tem 1 mol gas e produtos somam 3 mols gas, \Delta n=2).
  • R (vou usar em kJ): R=8{,}314\\ \mathrm{J\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}=0{,}008314\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
Observação didática: normalmente somos dados \Delta H_f^\circ a 298\\ \mathrm{K}; para obter \Delta H^\circ em outra T usamos
\Delta H^\circ(T)=\Delta H^\circ(298\\ \mathrm{K})+\int_{298}^{T}\Delta C_p\,dT,
onde \Delta C_p é a soma algébrica dos C_p molares dos produtos menos dos reagentes. Aqui vou considerar C_p constantes (aplicação comum em exercícios) e então \int_{298}^{T}\Delta C_p\,dT=\Delta C_p\,(T-298).

Passo 3

Calcular \Delta H^\circ da reação à 298\\ \mathrm{K} usando as entalpias-padrão de formação fornecidas:
\Delta H^\circ(298)=\sum \nu_i\Delta H_f^\circ(\text{produtos})-\sum \nu_j\Delta H_f^\circ(\text{reagentes}).
Aplicando aos valores:
\Delta H^\circ(298)=\big(2\cdot 218{,}0 + 249{,}17\big)-\big(-241{,}81\big).
Faço as contas passo a passo:
2\cdot 218{,}0=436{,}0,
436{,}0+249{,}17=685{,}17,
685{,}17 - (-241{,}81)=685{,}17+241{,}81=926{,}98\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}.
Portanto
\Delta H^\circ(298)=926{,}98\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}.

Passo 4

Calcular \Delta C_p da reação usando C_p=C_v+R e os C_v dados/assumidos:
  • Para \mathrm{H_{2}O_{(g)}} (poliatômico), dado C_v=3R no enunciado, então
C_p(\mathrm{H_{2}O_{(g)}})=C_v+R=3R+R=4R.
  • Para \mathrm{H_{(g)}} e \mathrm{O_{(g)}} (monoatômicos), usamos C_v=\tfrac{3}{2}R, portanto
C_p(\mathrm{H_{(g)}})=C_p(\mathrm{O_{(g)}})=\tfrac{3}{2}R+R=\tfrac{5}{2}R=2{,}5R.
Agora \Delta C_p=\sum \nu_i C_{p,i}(\text{prod})-\sum \nu_j C_{p,j}(\text{reag}):
\Delta C_p = 2\cdot (2{,}5R) + 1\cdot(2{,}5R) - 1\cdot(4R).
Calculo:
2\cdot 2{,}5R=5R,
5R+2{,}5R=7{,}5R,
\Delta C_p = 7{,}5R - 4R = 3{,}5R.
Em unidades de \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}:
\Delta C_p = 3{,}5\cdot 0{,}008314 = 0{,}029099\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.

Passo 5

Corrigir \Delta H de 298\\ \mathrm{K} para 500\\ \mathrm{K} usando \Delta H^\circ(500)=\Delta H^\circ(298)+\Delta C_p\,(500-298).
O aumento de temperatura é T-298=500-298=202\\ \mathrm{K}. Então
\Delta H^\circ(500)=926{,}98 + 0{,}029099\cdot 202.
Calculo do termo de correção:
0{,}029099\cdot 202 = 5{,}877998\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}\\ (\text{aprox. }5{,}878).
Logo
\Delta H^\circ(500)=926{,}98 + 5{,}878 = 932{,}858\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}.

Passo 6

Calcular \Delta U^\circ(500) com a fórmula do Passo 2. Primeiro obtenha \Delta n_{\mathrm{gas}}:
\Delta n_{\mathrm{gas}} = (2+1)-1=2.
Calcule \Delta n\,R\,T=2\cdot 0{,}008314\cdot 500:
0{,}008314\cdot 500 = 4{,}157\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}},
2\cdot 4{,}157 = 8{,}314\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}.
Agora
\Delta U^\circ(500)=\Delta H^\circ(500)-\Delta n\,R\,T=932{,}858 - 8{,}314 = 924{,}544\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}.
Arredondando de forma razoável (2 casas decimais):
\Delta U^\circ(500)\approx 924{,}54\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}.

Resposta

\Delta U^\circ(500\\ \mathrm{K})=924{,}54\\ \mathrm{kJ\cdot mol^{-1}}

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