Questão 4 (08 pontos)
Encontre a equação cartesiana equivalente da curva .

Passo 1

O enunciado pede para transformar a curva dada em coordenadas polares
rsenl(2pi3-thetar)=5
em sua equação cartesiana equivalente. Vamos usar duas ideias:
  1. A fórmula de seno da diferença de ângulos
  2. As relações entre coordenadas polares e cartesianas: x=rcostheta e y=rsentheta.

Passo 2

Aplicamos a identidade trigonométrica
senl(tfrac2pi3-thetar)=senl(tfrac2pi3r)costheta-cosl(tfrac2pi3r)sentheta
Sabemos que senl(tfrac2pi3r)=tfracraiz32 e cosl(tfrac2pi3r)=-tfrac12.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por r e substituindo rcostheta=x e rsentheta=y, obtemos
r,senl(tfrac2pi3-thetar) =rl(tfracraiz32costheta +tfrac12senthetar) =tfracraiz32,x+tfrac12,y
A equação polar vira
tfracraiz32,x+tfrac12,y=5

Passo 4

Multiplicando tudo por 2 para eliminar os denominadores, resulta
raiz3,x+y=10

Resposta

raiz3,x+y=10

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