Questão 08 - A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada em centímetros por
, onde t está em segundos. Calcule (i) a velocidade média durante o intervalo de tempo de
a
; (ii) a velocidade instantânea em
s ; (iii) a velocidade instantânea em
; (iv) a velocidade instantânea em
; (v) plote o gráfico de x em função de t ; (vi) plote o gráfico de v em função de t .
Passo 1
Beleza, aqui a gente tem uma partícula se movendo no eixo x com posição dada por
(onde
está em cm e
em s). O conteúdo é cinemática básica + derivada (para velocidade instantânea). O que vamos precisar:
- Calcular
em dois instantes pra achar a velocidade média; - Derivar
pra achar ; - Substituir os instantes pedidos em
; - Desenhar mentalmente (ou num rascunho) o gráfico de
vs e de vs .
Passo 2
(i) Velocidade média de
s a
s:
Por definição,
Por definição,
Calcula
e
:
Logo
Passo 3
(ii–iv) Velocidade instantânea: a gente pega a derivada de
.
Se
Se
então, usando regra do poder e da soma,
Isso nos dá uma função de velocidade em qualquer instante
.
Passo 4
(ii) Em
s,
Passo 5
(iii) Em
s,
Passo 6
(iv) Em
s,
Passo 7
(v) Gráfico de
vs
:
É uma parábola (coeficiente de positivo).
É uma parábola (coeficiente de
- Em
, . - Em
, . - Em
, .
Abre para cima e tem vértice em.
Passo 8
(vi) Gráfico de
vs
:
É uma reta com inclinação e intercepto
.
É uma reta com inclinação
- Em
, . - Em
, . - Em
, .
Resposta
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v) Gráfico: parábola (abre para cima)
(vi) Gráfico: reta
(ii)
(iii)
(iv)
(v) Gráfico: parábola
(vi) Gráfico: reta