Questão 08 - A posição de uma partícula que se move ao longo do eixo x é dada em centímetros por x(t)=t^2+3 t-4, onde t está em segundos. Calcule (i) a velocidade média durante o intervalo de tempo de t=2,00 s a t=3,00 s; (ii) a velocidade instantânea em t=2,00 s ; (iii) a velocidade instantânea em t=3,00 s; (iv) a velocidade instantânea em t=2,50 s; (v) plote o gráfico de x em função de t ; (vi) plote o gráfico de v em função de t .

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma partícula se movendo no eixo x com posição dada por
x(t) = t^2 + 3t - 4
(on­de está em cm e em s). O conteúdo é cinemática básica + derivada (para velocidade instantânea). O que vamos precisar:
  1. Calcular em dois instantes pra achar a velocidade média;
  2. Derivar pra achar ;
  3. Substituir os instantes pedidos em ;
  4. Desenhar mentalmente (ou num rascunho) o gráfico de vs e de vs .

Passo 2

(i) Velocidade média de vrm m = De s a x(2) = 2^2 + 3cdot2 - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 rm cm, s:
Por definição,
x(3) = 3^2 + 3cdot3 - 4 = 9 + 9 - 4 = 14 rm cm
Calcula vrm m = 14 - 61 = 8 rm cm/s e :
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Passo 3

(ii–iv) Velocidade instantânea: a gente pega a derivada de x(t) = t^2 + 3t - 4, .
Se
v(t) = dxdt = 2t + 3
então, usando regra do poder e da soma,
Isso nos dá uma função de velocidade em qualquer instante .

Passo 4

(ii) Em v(2) = 2cdot2 + 3 = 4 + 3 = 7 rm cm/s s,

Passo 5

(iii) Em v(3) = 2cdot3 + 3 = 6 + 3 = 9 rm cm/s s,

Passo 6

(iv) Em v(2,5) = 2cdot2,5 + 3 = 5 + 3 = 8 rm cm/s s,

Passo 7

(v) Gráfico de vs :
É uma parábola (coeficiente de positivo).
  • Em , .
  • Em , .
  • Em , .
    Abre para cima e tem vértice em .

Passo 8

(vi) Gráfico de vs :
É uma reta com inclinação e intercepto .
  • Em , .
  • Em , .
  • Em , .

Resposta

(i)
(ii)
(iii)
(iv)
(v) Gráfico: parábola (abre para cima)
(vi) Gráfico: reta

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