Questão 08: Seja A é uma matriz de ordem
.
f) Mostre que se
então
é inversível.
f) Mostre que se
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz quadrada de ordem
tal que
Queremos mostrar que a matriz
é invertível, ou seja, que existe uma matriz
com
Passo 2
Uma técnica comum quando
é nilpotente de índice 2 (isto é,
) é tentar como inversa de
a matriz
Vamos verificar se esse
funciona.
Passo 3
Calculemos primeiro o produto à direita:
pois
.
De modo análogo, o produto à esquerda é
Passo 4
Como encontramos uma matriz
que satisfaz
concluímos que
é invertível.