Questão 08: Seja A é uma matriz de ordem n.
f) Mostre que se A^{2}=0 então I_{n}-A é inversível.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz quadrada de ordem n tal que
A^{2}=0.
Queremos mostrar que a matriz I_{n}-A é invertível, ou seja, que existe uma matriz B com
(I_{n}-A)B = B(I_{n}-A)=I_{n}.

Passo 2

Uma técnica comum quando A é nilpotente de índice 2 (isto é, A^{2}=0) é tentar como inversa de I_{n}-A a matriz
B = I_{n} + A.
Vamos verificar se esse B funciona.

Passo 3

Calculemos primeiro o produto à direita:
(I_{n}-A)(I_{n}+A) = I_{n} + A - A - A^{2} = I_{n} - A^{2} = I_{n},
pois A^{2}=0.
De modo análogo, o produto à esquerda é
(I_{n}+A)(I_{n}-A) = I_{n} - A + A - A^{2} = I_{n} - A^{2} = I_{n}.

Passo 4

Como encontramos uma matriz B = I_{n}+A que satisfaz
(I_{n}-A)B = B(I_{n}-A)=I_{n},
concluímos que I_{n}-A é invertível.

Resposta

(I_{n}-A)^{-1} = I_{n} + A.

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