Questão 08: Seja A é uma matriz de ordem n.
h) Generalizando os dois itens anteriores, mostre que se A^{k+1}=0 para algum inteiro k \geq 0 então \left(I_{n}-A\right)^{-1}=I_{n}+A+A^{2}+\ldots+A^{k}.

Passo 1

O enunciado diz que A é uma matriz quadrada de ordem n e que existe k\ge0 tal que
A^{k+1}=0.
Queremos mostrar que, sob essa hipótese, a matriz \,I_{n}-A é invertível e que
\bigl(I_{n}-A\bigr)^{-1} = I_{n}+A+A^{2}+\cdots+A^{k}.
O conteúdo envolve a ideia de série geométrica para matrizes nilpotentes (isto é, que se anulam numa certa potência).

Passo 2

Vamos verificar que a soma
S \;=\; I_{n}+A+A^{2}+\cdots+A^{k}
é de fato o inverso de I_{n}-A. Para isso, calculamos o produto
\bigl(I_{n}-A\bigr)\,S = \bigl(I_{n}-A\bigr)\bigl(I_{n}+A+A^{2}+\cdots+A^{k}\bigr).
Usando distribuição e cancelamentos sucessivos, obtemos
\begin{aligned} (I_{n}-A)(I_{n}+A+A^{2}+\cdots+A^{k}) &=I_{n}+A+A^{2}+\cdots+A^{k}\\\ &\quad -\bigl(A+A^{2}+\cdots+A^{k}+A^{k+1}\bigr)\\\ &=I_{n}-A^{k+1}. \end{aligned}
Como A^{k+1}=0, segue
(I_{n}-A)\,S =I_{n}-0 =I_{n}.

Passo 3

De modo análogo, calcula-se
S\,(I_{n}-A) =I_{n}-A^{k+1} =I_{n}.
Portanto S é simultaneamente inversa pela esquerda e pela direita de I_{n}-A, o que prova que
(I_{n}-A)^{-1}=S =I_{n}+A+A^{2}+\cdots+A^{k}.

Resposta

\bigl(I_{n}-A\bigr)^{-1} = I_{n}+A+A^{2}+\cdots+A^{k}.

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