Questão 08: Seja A é uma matriz de ordem
.
h) Generalizando os dois itens anteriores, mostre que se
para algum inteiro
então
.
h) Generalizando os dois itens anteriores, mostre que se
Passo 1
O enunciado diz que
é uma matriz quadrada de ordem
e que existe
tal que
Queremos mostrar que, sob essa hipótese, a matriz
é invertível e que
O conteúdo envolve a ideia de série geométrica para matrizes nilpotentes (isto é, que se anulam numa certa potência).
Passo 2
Vamos verificar que a soma
é de fato o inverso de
. Para isso, calculamos o produto
Usando distribuição e cancelamentos sucessivos, obtemos
Como
, segue
Passo 3
De modo análogo, calcula-se
Portanto
é simultaneamente inversa pela esquerda e pela direita de
, o que prova que