Questão 14: (ITA-83) Seja a matriz
A=\left[\begin{array}{ll} a & b \\\ c & d \end{array}\right]
onde a=2^{1+\log _{2} 5}, b=2^{\log _{2} 8}, c=\log _{\sqrt{3}} 81 e d=\log _{\sqrt{3}} 27. Determine A^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz A em função de parâmetros definidos por potências de 2 e logaritmos em base \sqrt{3} e pede A^{-1}. Vamos usar propriedades de exponenciação e mudança de base de logaritmos para obter entradas numéricas e em seguida aplicar a fórmula de inversão de matriz 2\times2.

Passo 2

Calcular
a = 2^{1 + \log_{2}5}.
Usando 2^{x+y}=2^x\,2^y e 2^{\log_{2}5}=5, obtemos
a = 2^1\cdot5 = 2\cdot5 = 10.

Passo 3

Calcular
b = 2^{\log_{2}8}.
Como 2^{\log_{2}8}=8, temos
b = 8.

Passo 4

Calcular
c = \log_{\sqrt{3}}81,\quad d = \log_{\sqrt{3}}27.
Usando mudança de base \log_{p}q = \dfrac{\ln q}{\ln p} e \ln\sqrt{3}=\tfrac12\ln3,
c = \frac{\ln81}{\ln\sqrt{3}} = \frac{4\ln3}{\tfrac12\ln3} = 8, \qquad d = \frac{\ln27}{\ln\sqrt{3}} = \frac{3\ln3}{\tfrac12\ln3} = 6.

Passo 5

Agora a matriz numérica é
A = \begin{pmatrix}10 & 8 \\[6pt] 8 & 6\end{pmatrix}.
Para uma matriz 2\times2,
A^{-1} = \frac{1}{\det A} \begin{pmatrix} d & -b \\[3pt] -c & a \end{pmatrix},
onde \det A = ad - bc. Calculamos
\det A = 10\cdot6 - 8\cdot8 = 60 - 64 = -4.]

Passo 6

Substituindo na fórmula:
A^{-1} = \frac{1}{-4} \begin{pmatrix} 6 & -8 \\[3pt] -8 & 10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\,\tfrac{6}{4} & \tfrac{8}{4} \\[4pt] \tfrac{8}{4} & -\,\tfrac{10}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\,\tfrac{3}{2} & 2 \\[4pt] 2 & -\,\tfrac{5}{2} \end{pmatrix}.]

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} -\,\tfrac{3}{2} & 2 \\[4pt] 2 & -\,\tfrac{5}{2} \end{pmatrix}.]

Exercícios relacionados