Questão 08- A vida de um laser semicondutor a uma potência constante é normalmente distribuída, com uma média de 7000 horas e um desvio padrão de 600 horas.
a) Qual é a probabilidade de o laser falhar antes de 5700 horas?
b) Qual é a vida, em horas, que 90 % dos lasers ultrapassam?
c) Qual deve ser o valor da vida média para que 99 % dos lasers excedam 10.000 horas de vida antes da falha?

Passo 1

O enunciado nos diz que a vida X de um laser segue uma distribuição normal com média mu=7000 horas e desvio padrão sigma=600 horas. Vamos usar o conceito de padronização para a normal padrão Zsim N(0,1), onde
Z = X - musigma
Com isso conseguimos (a) calcular uma probabilidade de X menor que um valor, (b) encontrar o quantil correspondente a uma dada probabilidade e (c) escolher uma nova média mu para satisfazer uma probabilidade desejada.

Passo 2

Para (a) queremos Pr(X<5700). Padronizando:
Pr(X<5700) = Prl(Z < 5700-7000600r) = Prl(Z < -2,1667r)
Consultando tabela ou software da normal padrão, temos Pr(Z<-2,1667)approx 0,0151.

Passo 3

Para (b) buscamos o valor L tal que 90% dos lasers ultrapassem L, isto é,
Pr(X>L)=0,90 Longrightarrow Pr(X<= L)=0,10
O quantil de nível 0,10 da normal padrão é z0,10approx -1,2816. Logo,
L = mu + z0,10,sigma = 7000 + (-1,2816)cdot600approx6230 horas

Passo 4

Para (c) queremos ajustar mu de modo que
Pr(X>10000)=0,99 Longrightarrow Pr(X<=10000)=0,01
O quantil de nível 0,01 da normal padrão é z0,01approx -2,3263. Assim,
10000 - mu600 = -2,3263 Longrightarrow mu = 10000 + 2,3263cdot600approx11396 horas

Resposta

a) 0,0151
b) 6230 horas
c) 11396 horas

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