QUESTÃO 09:

As áreas dos dois pistões de uma prensa hidráulica são de 3,00 \mathrm{~cm}^{2} e 60,00 \mathrm{~cm}^{2}, respectivamente. Desejando-se obter uma força de 3.000 N no pistão maior, qual o módulo da força que deve ser aplicada no pistão menor?
Resp: F_{1}=150 \mathrm{~N}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (peguei estes números do enunciado):
    • Área do pistão menor: A_{1}=3{,}00\\ \mathrm{cm}^{2}.
    • Área do pistão maior: A_{2}=60{,}00\\ \mathrm{cm}^{2}.
    • Força desejada no pistão maior: F_{2}=3{,}000\\ \mathrm{N}.
  • Pergunta do enunciado:
    • Qual o módulo da força F_{1} que deve ser aplicada no pistão menor para obter F_{2}=3{,}000\\ \mathrm{N} no pistão maior?

Passo 2

Conceito físico que usamos (explicado passo a passo, sem assumir que você já sabe): em uma prensa hidráulica ligada por um fluido incompressível, as pressões nos dois pistões são iguais porque a pressão aplicada se transmite igualmente pelo fluido (princípio de Pascal). Pressão é definida por
p=\frac{F}{A},
onde:
  • p é a pressão (unidade SI: \mathrm{N/m^{2}}, mas qualquer unidade de pressão funciona se for usada consistentemente),
  • F é a força perpendicular aplicada sobre a área (unidade: \mathrm{N}),
  • A é a área da superfície onde a força age (unidade: \mathrm{m^{2}} ou \mathrm{cm^{2}}, etc.).
Como a pressão é a mesma nos dois pistões, vale
p_{1}=p_{2}.

Passo 3

Escrevendo a igualdade de pressões com a fórmula p=F/A:
\frac{F_{1}}{A_{1}}=\frac{F_{2}}{A_{2}}.
Agora isolamos F_{1} para poder calcular a força que precisamos aplicar no pistão menor:
F_{1}=F_{2}\,\frac{A_{1}}{A_{2}}.
Isso é só álgebra: multiplica-se ambos os lados por A_{1} para obter F_{1} e divide-se por A_{2} quando necessário.

Passo 4

Vamos substituir os valores numéricos. Observação sobre unidades: as áreas estão ambas em \mathrm{cm^{2}}, então a razão A_{1}/A_{2} é adimensional e podemos usar os números diretamente sem converter para \mathrm{m^{2}} (pois as unidades se cancelam). Ainda assim, se preferir, dá para converter; aqui o caminho direto é mais rápido.
Calcule a razão das áreas:
\frac{A_{1}}{A_{2}}=\frac{3{,}00}{60{,}00}=\frac{3}{60}=\frac{1}{20}.
Agora calcule F_{1}:
F_{1}=3{,}000\\ \mathrm{N}\times\frac{1}{20}= \frac{3000}{20}\\ \mathrm{N}=150\\ \mathrm{N}.
Alternativa curta para checar (mesmo raciocínio, só com outra ordem): a pressão no pistão maior é p=\dfrac{F_{2}}{A_{2}}=\dfrac{3000}{60}=50\\ \mathrm{N/cm^{2}}. Aplicando essa pressão ao pistão menor: F_{1}=pA_{1}=50\times3=150\\ \mathrm{N}. Dá o mesmo resultado — bom sinal!

Passo 5

Interpretação e dica para prova: em prensas hidráulicas sempre pense “pressão igual” e use F_{1}/A_{1}=F_{2}/A_{2}. Se as áreas estiverem na mesma unidade, a razão é direta; se estiverem em unidades diferentes, converta antes. Isso é rápido de aplicar em prova e evita contas desnecessárias.
Força necessária no pistão menor encontrada: 150\\ \mathrm{N}. Você consegue — tá indo bem!

Resposta

F_{1}=150\\ \mathrm{N}

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