QUESTÃO 10:

No funcionamento de um elevador de automóveis num posto de serviço utilizou-se uma pressão de até 5,0 \mathrm{kgf} / \mathrm{cm}^{2}. Qual o peso máximo que poderá elevar se o diâmetro do pistão maior mede 20,00 cm?
Resp: F=1.570,8 \mathrm{kgf}.

Passo 1

O enunciado pede o peso máximo que o elevador pode levantar. Os dados fornecidos são:
  • pressão máxima usada: p = 5,0\\ \mathrm{kgf/cm^{2}};
  • diâmetro do pistão maior: d = 20,00\\ \mathrm{cm}.
O que devemos calcular é a força (peso, em \mathrm{kgf}) que essa pressão aplicada sobre a área do pistão pode suportar.

Passo 2

Conceito importante e fórmula básica (aula curtinha): pressão é definição de força por unidade de área. Em palavras: a pressão p é a força F aplicada uniformemente sobre uma área A dividida por essa área. Em fórmula:
p=\frac{F}{A}.
Aqui:
  • p é a pressão (unidade usada: \mathrm{kgf/cm^{2}});
  • F é a força (no nosso contexto, o peso que queremos, unidade: \mathrm{kgf});
  • A é a área sobre a qual a pressão age (no nosso caso, a área da seção circular do pistão, em \mathrm{cm^{2}}).
Isolando F da fórmula acima obtemos a relação que usaremos:
F = p\,A.
Observação sobre unidades: como p está em \mathrm{kgf/cm^{2}} e A estará em \mathrm{cm^{2}}, o produto pA já dá a força diretamente em \mathrm{kgf}. Ou seja, nada de conversão complicada de unidades aqui.

Passo 3

Agora precisamos da área do pistão, que é uma circunferência. A área de um círculo é dada por:
A=\pi r^{2},
onde r é o raio. O enunciado deu o diâmetro d; o raio é metade do diâmetro:
r=\frac{d}{2}=\frac{20,00\\ \mathrm{cm}}{2}=10,00\\ \mathrm{cm}.
Substituindo:
A=\pi (10,00\\ \mathrm{cm})^{2}=\pi\cdot 100\\ \mathrm{cm^{2}}=100\pi\\ \mathrm{cm^{2}}.

Passo 4

Aplicando a fórmula F=pA com os valores que temos:
F = \left(5,0\\ \mathrm{kgf/cm^{2}}\right)\cdot\left(100\pi\\ \mathrm{cm^{2}}\right).
As unidades \mathrm{cm^{2}} cancelam, e obtemos a expressão simbólica:
F = 500\pi\\ \mathrm{kgf}.

Passo 5

Agora uma avaliação numérica para obter um valor prático. Usando \pi \approx 3,14159265,
F \approx 500\cdot 3,14159265 = 1570,7963268\\ \mathrm{kgf}.
Arredondando de forma razoável (uma casa decimal, como no gabarito):
F \approx 1.570,8\\ \mathrm{kgf}.

Resposta

F = 1.570,8\\ \mathrm{kgf}

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