Sabe-se que a taxa nominal de uma aplicação financeira é de 12 \% a.a., capitalizados mensalmente. Determinar:
a) quanto valerá uma aplicação de \mathrm{R} \ 10.000$ depois de 5 meses;
b) taxa efetiva anual da aplicação financeira;
c) taxa efetiva mensal da aplicação financeira.

Passo 1

O enunciado fornece:
  • Taxa nominal anual: \;12\% a.a., capitalizada mensalmente.
  • Valor aplicado (capital inicial): \mathrm{R}\$\,10.000.
  • Período para (a): 5 meses.
O que se pede:
(a) o valor da aplicação após 5 meses;
(b) a taxa efetiva anual da aplicação;
(c) a taxa efetiva mensal da aplicação.

Passo 2

Entendendo as taxas (conceito importante, sem pressa):
  • Taxa nominal anual com capitalização mensal significa que a taxa anual indicada \;12\% é dividida igualmente entre os 12 meses. A taxa que realmente se aplica a cada mês (taxa periódica mensal) é chamada de taxa periódica j.
  • A relação entre a taxa nominal anual \;i_{\text{nom}} (com m capitalizações por ano) e a taxa periódica j é:
j=\frac{i_{\text{nom}}}{m}.
Aqui i_{\text{nom}}=12\% e m=12.
Calculemos a taxa mensal j:
j=\frac{12\%}{12}=1\%=\;0,01\\ (\text{ao mês}).ê

Passo 3

(a) Fórmula do valor futuro (montante) para capitalização composta:
\text{Montante} = \text{Capital} \times (1+j)^{n},
onde:
  • \text{Capital} é o valor inicial ( \mathrm{R}\$\,10.000),
  • j é a taxa por período (aqui mensal),
  • n é o número de períodos (aqui 5 meses).
Aplicando:
\text{Montante}_5 = \mathrm{R}\$\,10.000 \times (1+0,01)^{5}.

Passo 4

Calcular (1{+}0,01)^{5} passo a passo (modo que dá para fazer na prova sem calculadora):
  • (1{+}0,01)=1,01.
  • (1,01)^2=1,0201.
  • (1,01)^3=1,0201\times1,01=1,030301.
  • (1,01)^4=1,030301\times1,01=1,04060401.
  • (1,01)^5=1,04060401\times1,01=1,0510100501.
Agora o montante:
\text{Montante}_5 = \mathrm{R}\$\,10.000 \times 1,0510100501 = \mathrm{R}\$\,10.510,100501.
Arredondando para centavos (modo usual em dinheiro):
\text{Montante}_5 \approx \mathrm{R}\$\,10.510,10.

Passo 5

(b) Taxa efetiva anual: é a taxa real que se obtém ao final de um ano quando há capitalização periódica. A relação com a taxa periódica j e número de períodos por ano m é:
i_{\text{efetiva anual}}=(1+j)^{m}-1.
Aqui j=0,01 e m=12, então
i_{\text{efetiva anual}}=(1{+}0,01)^{12}-1.

Passo 6

Calcular (1{+}0,01)^{12} de forma prática (pode usar decomposição):
  • Já temos (1{+}0,01)^{3}=1,030301.
  • Então (1{+}0,01)^{6}=(1{+}0,01)^{3}\times(1{+}0,01)^{3}=1,030301^{2}\approx1,061520151.
  • E ((1{+}0,01){12}=(1{+}0,01){6}\times(1{+}0,01){6}\approx1,061520151{2}\approx1,1268250301.
Portanto
i_{\text{efetiva anual}} \approx 1,1268250301-1 = 0,1268250301.
Convertendo para porcentagem e arredondando de forma razoável:
i_{\text{efetiva anual}} \approx 12,6825\%.
(Dica: se você tiver uma calculadora, pode calcular diretamente (1{+}0,01)^{12} e obter 1,1268250301319698, o que dá 12,68250301\%.))

Passo 7

(c) Taxa efetiva mensal: já calculamos a taxa periódica j que é a taxa aplicada em cada mês quando a capitalização é mensal. Assim:
\text{Taxa efetiva mensal}=j=0,01=1\%\\ \text{ao mês}.ê
Observação: também é possível obter a taxa mensal a partir da taxa efetiva anual via
j=(1+i_{\text{efetiva anual}})^{1/12}-1,
e isso retornará 0,01 no caso desta capitalização mensal simples.

Resposta

(a) \mathrm{R}\$\,10.510,10
(b) 12,6825\% (aproximadamente)
(c) 1\% ao mês (ou 0,01 ao mês)

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