Uma aplicação de \mathrm{R} \ 4.500 é resgatada poré\mathrm{R} $4.860$ no prazo de dois meses. Calcular a taxa de juros efetiva anual obtida na aplicação.

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação que cresce de \mathrm{R}\$\,4500 para \mathrm{R}\$\,4860 no prazo de dois meses e pede a taxa de juros efetiva anual obtida nessa aplicação.
Informações dadas:
  • Valor aplicado (capital inicial): PV = 4500.
  • Valor resgatado (valor futuro após 2 meses): FV = 4860.
  • Período decorrido: 2 meses.
  • O que se pede: a taxa de juros efetiva anual, denotada aqui por i_{\text{a}} (taxa efetiva ao ano).

Passo 2

Entender o que significa “taxa efetiva anual” e como relacioná-la com juros num período de 2 meses.
  • Se j for a taxa de juros referente ao período de 2 meses (ou seja, o juro que transforma PV em FV nesse intervalo), a relação de capitalização composta para esse único período é
FV = PV\,(1+j).
  • Isolando j:
j = \frac{FV}{PV}-1.
Agora substituímos os valores dados:
j = \frac{4860}{4500}-1.

Passo 3

Calcular j passo a passo (faça isso na prova sem calculadora simplificando frações):
\frac{4860}{4500} = \frac{4860\div 90}{4500\div 90} = \frac{54}{50} = \frac{27}{25}.
Então
j = \frac{27}{25}-1 = \frac{27-25}{25} = \frac{2}{25} = 0{,}08.
Logo, a taxa para o período de 2 meses é j=0{,}08, isto é, 8\% em 2 meses.

Passo 4

Converter a taxa do período de 2 meses em taxa efetiva anual.
  • Em um ano há 12 meses, logo o número de períodos de 2 meses por ano é
m=\frac{12}{2}=6.
  • Para capitalização composta, a taxa efetiva anual i_{\text{a}} satisfaz
1+i_{\text{a}}=(1+j)^{m}.
  • Substituindo j=0{,}08 e m=6:
1+i_{\text{a}}=(1{,}08)^{6}.

Passo 5

Calcular (1{,}08)^{6} por multiplicações sucessivas (mostrando etapas que dá para fazer sem calculadora com cuidado):
(1{,}08)^2 = 1{,}1664,
(1{,}08)^3 = 1{,}1664\times1{,}08 = 1{,}259712,
(1{,}08)^4 = 1{,}259712\times1{,}08 = 1{,}36048896,
(1{,}08)^5 = 1{,}36048896\times1{,}08 = 1{,}4693280768,
(1{,}08)^6 = 1{,}4693280768\times1{,}08 = 1{,}586874322944.
Portanto
i_{\text{a}} = (1{,}08)^6 - 1 = 1{,}586874322944 - 1 = 0{,}586874322944.

Passo 6

Interpretar e arredondar o resultado para um formato de taxa percentual usual.
  • Em porcentagem:
i_{\text{a}} = 0{,}586874322944 \approx 58{,}687\%.
Arredondando para duas casas decimais fica 58{,}69\% ao ano.

Resposta

i_{\text{efetiva anual}} \approx 58{,}69\%\\ \text{a.a.}

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