Questão 09
Dadas equações paramétricas, obtenha uma equação geral do plano:
lx=1+lambda-mu y=1 z=3

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas
x = 1 + lambda - mu, y = 1, z = 3,
e pede a equação geral do plano que essas equações determinaram. Em geral, para encontrar a equação de um plano a partir de uma parametrização com dois parâmetros, precisamos de um ponto P0 na superfície e de dois vetores de direção v1 e v2. Depois obtemos o vetor normal n=v1timesv2 e escrevemos a forma geral ncdotl((x,y,z)-P0r)=0.

Passo 2

Identificamos um ponto P0 e os vetores de direção extraindo o termo livre e os coeficientes de lambda e mu:
Ponto P0=(1,1,3),
v1=partial (x,y,z)partiallambda=(1,0,0), v2=partial (x,y,z)partialmu=(-1,0,0)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial
v1timesv2 = i&j&k 1&0&0 -1&0&0 =(0,0,0)
Como v1 e v2 são colineares, o produto é nulo.

Passo 4

Produto vetorial nulo significa que a parametrização não gera um plano (que exigiria duas direções linearmente independentes), mas sim uma reta. Observando as equações, vemos que y e z são constantes iguais a 1 e 3, e x varia livremente. Logo a curva descrita é a reta de interseção dos planos
y=1 e z=3

Resposta

A parametrização define a reta dada por
y=1, z=3,
e não um plano único. Portanto não há uma equação geral de plano única associada às equações dadas.

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