Seja pi o plano que contém o ponto A=(3,7,1) e é paralelo a u=(2,2,2) e v=(2,2,0).
(a) Obtenha as equações paramétricas de pi.
(b) Verifique se ponto (3,2,1) pertence a pi.
(c) Verifique se o vetor w=(2,2,5) é paralelo a pi.

Passo 1

O enunciado pede:
– (a) as equações paramétricas do plano pi que passa por A=(3,7,1) e é paralelo a vec u=(2,2,2) e vec v=(2,2,0);
– (b) verificar se P=(3,2,1) pertence a pi;
– (c) verificar se vec w=(2,2,5) é paralelo a pi.
O conteúdo envolvido é geometria vetorial: representação paramétrica de planos, teste de pertencimento a plano e teste de paralelismo de vetor a plano (via produto escalar com o normal).

Passo 2

Para (a): todo ponto
Como , e , obtemos
com (s,t\in\mathbb{R}].

Passo 3

Para (b): testar
Da terceira equação segue . Substituindo na primeira: e . Mas então a segunda exigiria , impossível. Logo não pertence a .

Passo 4

Para (c): um vetor vec w é paralelo a pi se for ortogonal ao vetor normal vec n de pi. Calculamos
vec n = vec u times vec v = i & j & k 2 & 2 & 2 2 & 2 & 0 =(-4,,4,,0)
Então
vec n cdot vec w = (-4)cdot 2 + 4cdot 2 + 0cdot5 = -8 + 8 + 0 = 0
Como o produto escalar é zero, vec w é ortogonal a vec n e, portanto, paralelo a pi.

Resposta

(a)
x = 3 + 2s + 2t, y = 7 + 2s + 2t, z = 1 + 2s, s,tinR
(b) O ponto (3,2,1) não pertence a pi.
(c) O vetor vec w=(2,2,5) é paralelo a pi.

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