(1 ponto) Resolver um problema de valor inicial (PVI) envolvendo uma EDO linear de ordem 2
y^{\prime \prime}+p(t) y^{\prime}+q(t) y=g(t)
consiste em encontrar uma solução da EDO que atenda a duas restrições do tipo y\left(t_{0}\right)= y_{0} e y^{\prime}\left(t_{0}\right)=y_{0}^{\prime}.
a) Geometricamente, quais os significados dessas duas restrições?
b) Resolva o PVI
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=0, \quad y(0)=2, \quad y^{\prime}(0)=-1 .
OBS: Essa EDO já foi resolvida na questão 2.

Passo 1

O enunciado tem duas partes: (a) pergunta o significado geométrico das duas condições iniciais para um problema de valor inicial (PVI) de segunda ordem; (b) pede resolver o PVI
y'' - 2y' - 3y = 0,\qquad y(0)=2,\qquad y'(0)=-1.
Informações fornecidas que usaremos:
\text{EDO: }y''-2y'-3y=0,
\text{condições iniciais: }y(0)=2,\quad y'(0)=-1.çõ
Nada mais é pedido além de interpretar geometricamente as condições iniciais e encontrar a solução que satisfaça a EDO e essas condições.

Passo 2

Interpretação geométrica das condições iniciais (resposta para a letra (a)), explicada passo a passo e de forma intuitiva.
  • A função solução y(t) é uma curva no plano (t,y). A condição y(t_0)=y_0 fixa um ponto dessa curva: diz que, no instante t=t_0, a curva passa por (t_0,y_0).
  • A condição y'(t_0)=y_0' fixa a inclinação (a tangente) da curva naquele ponto: diz quão íngreme a curva é em t_0.
  • Geometricamente, então, as duas condições determinam no instante t_0 tanto a posição y quanto a velocidade (taxa de variação) y'. Para uma EDO de segunda ordem, você precisa exatamente de dois dados para fixar uma solução única: posição e derivada no instante inicial.
  • Outra forma de ver: no espaço de fase (y,y') as condições iniciais fixam um ponto (y_0,y_0'); a solução do PVI é a trajetória temporal que passa por esse ponto no instante t_0. Essas duas coordenadas são suficientes para determinar uma única trajetória quando a EDO é bem-comportada (teorema de existência e unicidade).

Passo 3

Agora vamos resolver o PVI (letra (b)). Primeiro identificamos que a EDO é linear homogênea com coeficientes constantes:
y''-2y'-3y=0.
Método padrão: tentar uma solução da forma exponencial porque derivar uma exponencial mantém a mesma forma, o que facilita transformar a EDO num polinômio (a equação característica).

Passo 4

Faço a substituição ansatz y(t)=e^{rt} (explicação: y'=r e^{rt}, y''=r^2 e^{rt}; por isso a equação fica em termos de r).
Substituindo em y''-2y'-3y=0
obtemos, dividindo por e^{rt} (que nunca é zero),
r^2-2r-3=0.
Essa é a equação característica (um polinômio em r).

Passo 5

Resolvemos a equação característica r^2-2r-3=0.
Podemos fatorar: (r-3)(r+1)=0. Portanto as raízes são
r_1=3,\qquad r_2=-1.
As raízes são reais e distintas, então a solução geral da EDO homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
y(t)=C_1 e^{3t} + C_2 e^{-t},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais. (Explicação: para cada raiz r a função e^{rt} é solução; duas raízes distintas dão duas soluções linearmente independentes, cuja combinação geral cobre todas as soluções.)

Passo 6

Calculamos a derivada de y(t) para poder aplicar y'(0)=-1. Derivando termo a termo,
y'(t)=3C_1 e^{3t} - C_2 e^{-t}.
Explicando a regra usada: derivada de e^{at} é a e^{at}; assim o coeficiente 3 aparece multiplicando C_1 e^{3t}, e -1 aparece multiplicando C_2 e^{-t}.

Passo 7

Aplicamos as condições iniciais em t=0.
Primeira condição y(0)=2
C_1 + C_2 = 2,
porque e^{0}=1.
Segunda condição y'(0)=-1
3C_1 - C_2 = -1.
Agora resolvemos o sistema linear
\begin{cases} C_1 + C_2 = 2,\\[4pt] 3C_1 - C_2 = -1. \end{cases}]

Passo 8

Para resolver, somamos as duas equações para eliminar C_2:
( C_1 + C_2 ) + (3C_1 - C_2 ) = 2 + (-1).
Isso dá
4C_1 = 1 \quad\Rightarrow\quad C_1 = \tfrac{1}{4}.
Substituindo C_1 em C_1 + C_2 = 2, obtemos
C_2 = 2 - \tfrac{1}{4} = \tfrac{7}{4}.
Verificação rápida das condições: y(0)=\tfrac{1}{4}+\tfrac{7}{4}=2 e y'(0)=3\cdot\tfrac{1}{4}-\tfrac{7}{4}=\tfrac{3-7}{4}=-1, ambas ok.

Passo 9

Substituímos as constantes na solução geral e escrevemos a solução particular que satisfaz o PVI:
y(t)=\tfrac{1}{4}e^{3t}+\tfrac{7}{4}e^{-t}.
Pronto — essa é a solução única do problema com as condições iniciais dadas.

Resposta

(a) Geometricamente, as condições y(t_0)=y_0 e y'(t_0)=y_0' fixam no instante t_0 a posição da curva (o ponto (t_0,y_0)) e a inclinação/tangente naquele ponto (a taxa y_0'); em termos de espaço de fase (y,y') elas determinam o ponto inicial (y_0,y_0'), e para uma EDO de segunda ordem esse par de dados determina uma única solução. \n(b) \displaystyle y(t)=\tfrac{1}{4}e^{3t}+\tfrac{7}{4}e^{-t}

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