(1 ponto) Resolver um problema de valor inicial (PVI) envolvendo uma EDO linear de ordem 2
consiste em encontrar uma solução da EDO que atenda a duas restrições do tipo
e
.
a) Geometricamente, quais os significados dessas duas restrições?
b) Resolva o PVI
OBS: Essa EDO já foi resolvida na questão 2.
a) Geometricamente, quais os significados dessas duas restrições?
b) Resolva o PVI
Passo 1
O enunciado tem duas partes: (a) pergunta o significado geométrico das duas condições iniciais para um problema de valor inicial (PVI) de segunda ordem; (b) pede resolver o PVI
Informações fornecidas que usaremos:
Nada mais é pedido além de interpretar geometricamente as condições iniciais e encontrar a solução que satisfaça a EDO e essas condições.
Passo 2
Interpretação geométrica das condições iniciais (resposta para a letra (a)), explicada passo a passo e de forma intuitiva.
- A função solução
é uma curva no plano . A condição fixa um ponto dessa curva: diz que, no instante , a curva passa por . - A condição
fixa a inclinação (a tangente) da curva naquele ponto: diz quão íngreme a curva é em . - Geometricamente, então, as duas condições determinam no instante
tanto a posição quanto a velocidade (taxa de variação) . Para uma EDO de segunda ordem, você precisa exatamente de dois dados para fixar uma solução única: posição e derivada no instante inicial. - Outra forma de ver: no espaço de fase
as condições iniciais fixam um ponto ; a solução do PVI é a trajetória temporal que passa por esse ponto no instante . Essas duas coordenadas são suficientes para determinar uma única trajetória quando a EDO é bem-comportada (teorema de existência e unicidade).
Passo 3
Agora vamos resolver o PVI (letra (b)). Primeiro identificamos que a EDO é linear homogênea com coeficientes constantes:
Método padrão: tentar uma solução da forma exponencial porque derivar uma exponencial mantém a mesma forma, o que facilita transformar a EDO num polinômio (a equação característica).
Passo 4
Faço a substituição ansatz
(explicação:
,
; por isso a equação fica em termos de
).
Substituindo em
obtemos, dividindo por
(que nunca é zero),
Essa é a equação característica (um polinômio em
).
Passo 5
Resolvemos a equação característica
Podemos fatorar:
. Portanto as raízes são
As raízes são reais e distintas, então a solução geral da EDO homogênea é a combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais. (Explicação: para cada raiz
a função
é solução; duas raízes distintas dão duas soluções linearmente independentes, cuja combinação geral cobre todas as soluções.)
Passo 6
Calculamos a derivada de
para poder aplicar
. Derivando termo a termo,
Explicando a regra usada: derivada de
é
; assim o coeficiente
aparece multiplicando
, e
aparece multiplicando
.
Passo 7
Aplicamos as condições iniciais em
.
Primeira condição dá
Primeira condição
porque
.
Segunda condição dá
Segunda condição
Agora resolvemos o sistema linear
Passo 8
Para resolver, somamos as duas equações para eliminar
:
Isso dá
Substituindo
em
, obtemos
Verificação rápida das condições:
e
, ambas ok.
Passo 9
Substituímos as constantes na solução geral e escrevemos a solução particular que satisfaz o PVI:
Pronto — essa é a solução única do problema com as condições iniciais dadas.
Resposta
(a) Geometricamente, as condições
e
fixam no instante
a posição da curva (o ponto
) e a inclinação/tangente naquele ponto (a taxa
); em termos de espaço de fase
elas determinam o ponto inicial
, e para uma EDO de segunda ordem esse par de dados determina uma única solução. \n(b)