Questão 09. Se \left(n+\frac{1}{n}\right)^{2}=3, então n^{3}+\frac{1}{n^{3}} vale
a) 0
b) 3 \sqrt{3}
c) 6 \sqrt{3}
d) \frac{10 \sqrt{3}}{3}

Passo 1

O enunciado dá a igualdade \left(n+\frac{1}{n}\right)^{2}=3 e pergunta o valor de n^{3}+\frac{1}{n^{3}}.
Informações relevantes: \left(n+\frac{1}{n}\right)^{2}=3.
O que precisamos encontrar: n^{3}+\frac{1}{n^{3}}.

Passo 2

Para simplificar a notação, defino
S = n + \frac{1}{n}.
A condição do enunciado vira
S^{2}=3.
Resolvendo para S obtemos
S=\pm\sqrt{3}.
Aqui é importante notar que tanto S=\sqrt{3} quanto S=-\sqrt{3} são possíveis a partir da equação quadrática S^{2}=3. Vamos tratar ambos os casos depois; primeiro achamos uma fórmula que dá n^{3}+\frac{1}{n^{3}} em termos de S.

Passo 3

Vamos obter uma relação entre n^{3}+\frac{1}{n^{3}} e S. Expando o cubo:
\left(n+\frac{1}{n}\right)^{3} = n^{3} + 3n\cdot\frac{1}{n} + 3\frac{1}{n}\cdot n + \frac{1}{n^{3}}.
Simplificando os termos do meio ( 3n\cdot\frac{1}{n}=3 e 3\frac{1}{n}\cdot n=3) obtemos
\left(n+\frac{1}{n}\right)^{3} = n^{3} + \frac{1}{n^{3}} + 3\left(n+\frac{1}{n}\right).
Usando S isso vira
S^{3} = n^{3} + \frac{1}{n^{3}} + 3S.
Isolando o que queremos:
n^{3} + \frac{1}{n^{3}} = S^{3} - 3S.
Essa é a fórmula que nos permite calcular n^{3}+\frac{1}{n^{3}} conhecendo S.

Passo 4

Agora calculo S^{3}-3S para S=\sqrt{3}. Primeiro
S^{3} = \left(\sqrt{3}\right)^{3} = 3\sqrt{3}.
Então
S^{3}-3S = 3\sqrt{3} - 3\cdot\sqrt{3} = 0.

Passo 5

Faço o mesmo para S=-\sqrt{3}. Primeiro
S^{3} = \left(-\sqrt{3}\right)^{3} = -3\sqrt{3}.
Então
S^{3}-3S = -3\sqrt{3} - 3\cdot(-\sqrt{3}) = -3\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 0.
Portanto, em ambos os casos o valor de n^{3}+\frac{1}{n^{3}} é 0. Legal: o sinal de S não importa aqui — a expressão final dá o mesmo resultado.

Resposta

a) 0

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