Questão 03. Marque a alternativa FALSA
a)
somente se
b)
c)
d)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado pede: marque a alternativa FALSA entre as quatro opções dadas. Vou listar explicitamente cada alternativa para ficar claro o que temos que analisar:
a)
somente se
b)
c)
d)
Informações relevantes dadas: todas as alternativas são fórmulas envolvendo raízes e potências; em (b) está explícito que
(isso facilita usar expoentes racionais). A tarefa é determinar qual dessas quatro afirmações é falsa.
Passo 2
Conceito importante: raiz quadrada principal e valor absoluto. A definição que usamos na prova é:
Aqui
é o valor absoluto, definido por
Dessa definição decorre imediatamente que
, isto é, quando
. Portanto a alternativa (a) está correta.]
Passo 3
Agora vou tratar a alternativa (b). A técnica é transformar todas as raízes em potências racionais e usar as regras de potências:
- Produto de potências com mesma base:
. - Potência de potência:
.
Lembrando que, como foi dado, podemos operar com expoentes fracionários sem problema.
Começo simplificando o numerador:
Escrevo cada raiz como potência:
. Assim dentro da raiz cúbica temos
. Então
Multiplicando pelo
à frente:
Passo 4
Agora o denominador:
Vou de dentro para fora. Primeiro
. Então
. Em seguida
. Finalmente dentro da raiz cúbica temos
, e então
Portanto o denominador é
.
Passo 5
Com numerador e denominador em forma de potências, a fração é
Faço a subtração de frações:
, então
. Logo a expressão vale
.
Agora comparo com o lado direito proposto:
. Portanto as duas expressões coincidem para
. Conclusão: a alternativa (b) é verdadeira.
Passo 6
Análise da alternativa (c). Primeiro simplifico o que está dentro da raiz:
Aplicando o conceito do Passo 2:
Portanto a igualdade
só é verdadeira quando
, ou seja, quando
(equivalente a
). Para valores de
temos
. Um contraexemplo simples: se
,
enquanto
. Logo
. Assim a igualdade dada em (c) não vale para todo
; a alternativa (c) é falsa.
Passo 7
Verificação rápida da alternativa (d) só para confirmar: uso manipulação de raízes. Temos
Somando:
Portanto (d) é verdadeira.
Resposta
c)