Questão 03. Marque a alternativa FALSA

a) \sqrt{x^{2}}=x somente se x \geq 0
b) \frac{a \sqrt[3]{a^{2} \sqrt{a^{3}}}}{\sqrt[3]{a \sqrt{a \sqrt{a}}}}=a \sqrt[12]{a^{7}},\left(a \in I R_{+}^{*}\right)
c) \sqrt{\mathrm{x}^{2}+2 \mathrm{x}+1}=\mathrm{x}+1, \forall \mathrm{x} \in \mathrm{IR}
d) \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{-1}{2}}=\frac{5 \sqrt{6}}{6}

Passo 1

O enunciado pede: marque a alternativa FALSA entre as quatro opções dadas. Vou listar explicitamente cada alternativa para ficar claro o que temos que analisar:
a) \sqrt{x^{2}}=x somente se x \geq 0
b) \displaystyle\frac{a \sqrt[3]{a^{2} \sqrt{a^{3}}}}{\sqrt[3]{a \sqrt{a \sqrt{a}}}}=a \sqrt[12]{a^{7}},\quad\left(a \in \mathbb{R}_{+}^{*}\right)
c) \sqrt{x^{2}+2x+1}=x+1,\\ \forall x\in\mathbb{R}
d) \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{2}}+\left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{-1}{2}}=\frac{5\sqrt{6}}{6}
Informações relevantes dadas: todas as alternativas são fórmulas envolvendo raízes e potências; em (b) está explícito que a>0 (isso facilita usar expoentes racionais). A tarefa é determinar qual dessas quatro afirmações é falsa.

Passo 2

Conceito importante: raiz quadrada principal e valor absoluto. A definição que usamos na prova é:
\sqrt{y}\) denota a raiz quadrada principal de \(y\), que é sempre um número não negativo quando \(y\ge 0\). Em particular, para qualquer real \(x\) vale a identidade \[\sqrt{x^{2}} = |x|.
Aqui |x| é o valor absoluto, definido por
|x|=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\[4pt] -x, & x<0. \end{cases}
Dessa definição decorre imediatamente que \sqrt{x^{2}}=x\] só quando \(|x|=x, isto é, quando x\ge 0. Portanto a alternativa (a) está correta.]

Passo 3

Agora vou tratar a alternativa (b). A técnica é transformar todas as raízes em potências racionais e usar as regras de potências:
  • Produto de potências com mesma base: a^{r} \cdot a^{s}=a^{r+s}.
  • Potência de potência: (a^{r})^{s}=a^{r\cdot s}.
    Lembrando que, como foi dado a\in\mathbb{R}_{+}^{*}, podemos operar com expoentes fracionários sem problema.
Começo simplificando o numerador:
\text{numerador} = a\;\sqrt[3]{a^{2}\sqrt{a^{3}}}.
Escrevo cada raiz como potência: \sqrt{a^{3}}=(a^{3})^{1/2}=a^{3/2}. Assim dentro da raiz cúbica temos a^{2}\cdot a^{3/2}=a^{2+3/2}=a^{7/2}. Então
\sqrt[3]{a^{2}\sqrt{a^{3}}} = (a^{7/2})^{1/3} = a^{7/6}.
Multiplicando pelo a à frente:
\text{numerador} = a\cdot a^{7/6} = a^{1+7/6}=a^{13/6}.

Passo 4

Agora o denominador:
\text{denominador} = \sqrt[3]{a\sqrt{a\sqrt{a}}}.
Vou de dentro para fora. Primeiro \sqrt{a}=a^{1/2}. Então a\sqrt{a}=a\cdot a^{1/2}=a^{3/2}. Em seguida \sqrt{a\sqrt{a}}=\sqrt{a^{3/2}}=(a^{3/2})^{1/2}=a^{3/4}. Finalmente dentro da raiz cúbica temos a\cdot a^{3/4}=a^{1+3/4}=a^{7/4}, e então
\sqrt[3]{a\sqrt{a\sqrt{a}}}=(a^{7/4})^{1/3}=a^{7/12}.
Portanto o denominador é a^{7/12}.

Passo 5

Com numerador e denominador em forma de potências, a fração é
\frac{a^{13/6}}{a^{7/12}} = a^{13/6-7/12}.
Faço a subtração de frações: 13/6=26/12, então 26/12-7/12=19/12. Logo a expressão vale a^{19/12}.
Agora comparo com o lado direito proposto: a\sqrt[12]{a^{7}} = a\cdot (a^{7})^{1/12} = a\cdot a^{7/12} = a^{1+7/12}=a^{19/12}. Portanto as duas expressões coincidem para a>0. Conclusão: a alternativa (b) é verdadeira.

Passo 6

Análise da alternativa (c). Primeiro simplifico o que está dentro da raiz:
x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}.
Aplicando o conceito do Passo 2:
\sqrt{x^{2}+2x+1}=\sqrt{(x+1)^{2}}=|x+1|.
Portanto a igualdade \sqrt{x^{2}+2x+1}=x+1 só é verdadeira quando |x+1|=x+1, ou seja, quando x+1\ge 0 (equivalente a x\ge -1). Para valores de x<-1 temos \sqrt{(x+1)^{2}}=-(x+1)\neq x+1. Um contraexemplo simples: se x=-2,
\sqrt{(-2)^{2}+2(-2)+1}=\sqrt{4-4+1}=\sqrt{1}=1,
enquanto x+1=-2+1=-1. Logo 1\neq -1. Assim a igualdade dada em (c) não vale para todo x\in\mathbb{R}; a alternativa (c) é falsa.

Passo 7

Verificação rápida da alternativa (d) só para confirmar: uso manipulação de raízes. Temos
\left(\frac{2}{3}\right)^{1/2}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}, \qquad \left(\frac{2}{3}\right)^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{2/3}}=\frac{3}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{2}.
Somando:
\frac{\sqrt{6}}{3}+\frac{\sqrt{6}}{2}=\sqrt{6}\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right)=\sqrt{6}\cdot\frac{5}{6}=\frac{5\sqrt{6}}{6}.
Portanto (d) é verdadeira.

Resposta

c)

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