Questão 05. Um reservatório, com 40 litros de capacidade, já contém 30 litros de uma mistura gasolina/álcool com 18% de álcool. Deseja-se completar o tanque com uma nova mistura gasolina/álcool de modo que a mistura resultante tenha 20% de álcool. A porcentagem de álcool nessa nova mistura deve ser de:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a pergunta abaixo:
- Capacidade total do reservatório:
litros. - Volume já presente:
litros de uma mistura gasolina/álcool com de álcool. - Pretende-se completar o tanque (ou seja, adicionar
litros, porque ) com uma nova mistura gasolina/álcool de porcentagem de álcool desconhecida. - Mistura final desejada:
de álcool em litros.
Pergunta: Qual deve ser a porcentagem de álcool na nova mistura (a que vai entrar os
litros) para que o resultado final tenha
de álcool? As opções são:
,
,
,
,
.
Passo 2
Vamos definir uma variável e lembrar como trabalhar com porcentagens:
- Seja
a fração decimal da nova mistura que é álcool. Ou seja, se a nova mistura tem de álcool, então . - Conversão entre porcentagem e fração decimal:
corresponde a em formato decimal com vírgula. Por exemplo, , . - Raciocínio físico/matemático: a quantidade absoluta de álcool (em litros) do sistema é conservada ao misturar — o álcool total final é a soma do álcool inicial mais o álcool adicionado. Para calcular a quantidade de álcool em uma parte, multiplicamos o volume dessa parte pela fração decimal de álcool nela.
Passo 3
Escrevemos a equação que exprime a conservação do álcool:
- Álcool presente inicialmente:
litros da mistura com de álcool, ou seja litros de álcool. - Álcool adicionado:
litros da nova mistura com fração de álcool , ou seja litros de álcool. - Álcool total desejado no final:
litros com de álcool, ou seja litros de álcool.
A equação é portanto:
Passo 4
Agora vamos calcular passo a passo os termos numéricos dessa equação:
- Calcule
:
Isso significa que inicialmente há
litros de álcool no tanque.
- Calcule
:
Ou seja, queremos
litros de álcool no total após completar.
Substituindo na equação:
Passo 5
Isolamos
para encontrar a fração decimal da nova mistura:
- Subtraindo
de ambos os lados:
- Dividindo por
:
Portanto, a fração decimal é
. Convertendo para porcentagem:
.
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): se a nova mistura tem
álcool, os
litros adicionam
litros de álcool. Somando ao
inicial dá
litros em
litros, ou seja
. Está correto.
Resposta
d)