Questão 12. O valor de \sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}} é
a) 2 .
b) 3 .
c) \sqrt{2}
d) \sqrt{6}.
e) 2 \sqrt{2}

Passo 1

O problema pede o valor de \sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}.
As informações dadas são as próprias expressões dentro das raízes: 2+\sqrt{3} e 2-\sqrt{3}.
Também são apresentadas as alternativas:
a) 2.
b) 3.
c) \sqrt{2}.
d) \sqrt{6}.
e) 2\sqrt{2}.

Passo 2

Definimos uma variável para trabalhar com mais clareza. Seja
x=\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}.
O objetivo é encontrar x. Uma técnica simples e poderosa que usamos aqui é elevar x ao quadrado, porque isso elimina a soma dentro da raiz e nos permite simplificar.

Passo 3

Aplicamos a identidade do quadrado da soma:
x^2=\bigl(\sqrt{2+\sqrt{3}}+\sqrt{2-\sqrt{3}}\bigr)^2.
Pela fórmula (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 (onde a e b são os dois radicais), temos
x^2=(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})+2\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}.

Passo 4

Simplificamos a soma dos termos sem produto:
(2+\sqrt{3})+(2-\sqrt{3})=2+2=4.
Agora tratamos o produto dentro da raiz. Usamos a propriedade \sqrt{u}\sqrt{v}=\sqrt{uv} quando u,v\ge0, o que é válido aqui:
(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=2^2-(\sqrt{3})^2=4-3=1.
Portanto
\sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\sqrt{1}=1.

Passo 5

Substituindo na expressão de x^2 obtemos
x^2=4+2\cdot 1=4+2=6.
Logo x^2=6, o que implica x=\pm\sqrt{6}.

Passo 6

Devemos escolher o sinal correto. Cada uma das quantidades \sqrt{2+\sqrt{3}} e \sqrt{2-\sqrt{3}} é uma raiz quadrada principal, portanto é não negativa; a soma de coisas não negativas é não negativa. Assim x\ge0, e escolhemos o sinal positivo:
x=\sqrt{6}.
Se quiser confirmar numericamente: \sqrt{2+\sqrt{3}}\approx1,932 e \sqrt{2-\sqrt{3}}\approx0,517, soma \approx2,449, que é exatamente \sqrt{6}\approx2,449.

Resposta

d) \sqrt{6}

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