Questão 12. O valor de
é
a) 2 .
b) 3 .
c)
d)
.
e)
a) 2 .
b) 3 .
c)
d)
e)
Passo 1
O problema pede o valor de
.
As informações dadas são as próprias expressões dentro das raízes: e
.
Também são apresentadas as alternativas:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
As informações dadas são as próprias expressões dentro das raízes:
Também são apresentadas as alternativas:
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 2
Definimos uma variável para trabalhar com mais clareza. Seja
O objetivo é encontrar
. Uma técnica simples e poderosa que usamos aqui é elevar
ao quadrado, porque isso elimina a soma dentro da raiz e nos permite simplificar.
Passo 3
Aplicamos a identidade do quadrado da soma:
Pela fórmula
(onde
e
são os dois radicais), temos
Passo 4
Simplificamos a soma dos termos sem produto:
Agora tratamos o produto dentro da raiz. Usamos a propriedade
quando
, o que é válido aqui:
Portanto
Passo 5
Substituindo na expressão de
obtemos
Logo
, o que implica
.
Passo 6
Devemos escolher o sinal correto. Cada uma das quantidades
e
é uma raiz quadrada principal, portanto é não negativa; a soma de coisas não negativas é não negativa. Assim
, e escolhemos o sinal positivo:
Se quiser confirmar numericamente:
e
, soma
, que é exatamente
.
Resposta
d)