Questão-11 - (UEG GO)

Em uma escola, todas as crianças participaram de uma pesquisa sobre a preferência do lanche. Nessa pesquisa, constatou-se que 35 alunos gostam de salgados, 33 gostam de doces, 52 gostam de suco, 7 alunos gostam de salgado e doce, 5 alunos gostam de salgado e suco, 3 alunos gostam de doce e suco, 3 alunos gostam das três opções e 8 alunos não gostam de nenhuma das opções. O total de alunos da escola é
a) \mathbf{1 4 5}
b) 98
c) 137
d) 114
e) 116

Passo 1

O enunciado pede o total de alunos da escola, dadas as preferências registradas na pesquisa. Os dados fornecidos são:
  • 35 alunos gostam de salgados.
  • 33 alunos gostam de doces.
  • 52 alunos gostam de suco.
  • 7 alunos gostam de salgado e doce (interseção salgados ∩ doces).
  • 5 alunos gostam de salgado e suco (interseção salgados ∩ suco).
  • 3 alunos gostam de doce e suco (interseção doces ∩ suco).
  • 3 alunos gostam das três opções (interseção salgados ∩ doces ∩ suco).
  • 8 alunos não gostam de nenhuma das opções.
As perguntas implícitas são:
  • Quantos alunos gostam de pelo menos uma das três opções?
  • Qual é o total de alunos na escola (contando também os que não gostam de nenhuma opção)?

Passo 2

Definindo conjuntos para organizar as informações:
  • Seja S o conjunto de alunos que gostam de salgados, com |S|=35.
  • Seja D o conjunto de alunos que gostam de doces, com |D|=33.
  • Seja U o conjunto de alunos que gostam de suco, com |U|=52.
A fórmula que usamos para o número de elementos da união de três conjuntos (quantos gostam de pelo menos uma opção) é a fórmula da inclusão-exclusão:
|S\cup D\cup U| = |S| + |D| + |U| - |S\cap D| - |S\cap U| - |D\cap U| + |S\cap D\cap U|.
Vou explicar o que cada termo significa e por que aparece: cada um dos primeiros três termos conta quem gosta de cada opção. As interseções de dois conjuntos são subtraídas porque esses alunos foram contados duas vezes nas somas iniciais. Como a interseção dos três foi subtraída três vezes nas subtrações, ela precisa ser somada uma vez ao final (por isso o termo +|S\cap D\cap U|).

Passo 3

Agora vou substituir os valores dados na fórmula. Primeiro some os totais individuais:
|S| + |D| + |U| = 35 + 33 + 52.
Calcule passo a passo:
35 + 33 = 68,
68 + 52 = 120.
Logo, a soma inicial é 120.

Passo 4

Subtraia as interseções de dois conjuntos (os valores foram dados no enunciado):
|S\cap D| + |S\cap U| + |D\cap U| = 7 + 5 + 3.
Calcule:
7 + 5 = 12,
12 + 3 = 15.
Então subtraímos 15 de 120:
120 - 15 = 105.

Passo 5

Agora adicionamos a interseção dos três conjuntos, que foi subtraída em excesso nas contas anteriores:
105 + |S\cap D\cap U| = 105 + 3 = 108.
Portanto, 108 alunos gostam de pelo menos uma das três opções (salgados, doces ou suco).

Passo 6

Por fim, para obter o total de alunos da escola, somamos os que não gostam de nenhuma opção (dado no enunciado: 8):
\text{Total de alunos} = 108 + 8 = 116.
Isso corresponde à alternativa e.

Resposta

e) 116

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