Questão-11 - (UEG GO)
Em uma escola, todas as crianças participaram de uma pesquisa sobre a preferência do lanche. Nessa pesquisa, constatou-se que 35 alunos gostam de salgados, 33 gostam de doces, 52 gostam de suco, 7 alunos gostam de salgado e doce, 5 alunos gostam de salgado e suco, 3 alunos gostam de doce e suco, 3 alunos gostam das três opções e 8 alunos não gostam de nenhuma das opções. O total de alunos da escola é
a)
b) 98
c) 137
d) 114
e) 116
a)
b) 98
c) 137
d) 114
e) 116
Passo 1
O enunciado pede o total de alunos da escola, dadas as preferências registradas na pesquisa. Os dados fornecidos são:
-
alunos gostam de salgados. -
alunos gostam de doces. -
alunos gostam de suco. -
alunos gostam de salgado e doce (interseção salgados ∩ doces). -
alunos gostam de salgado e suco (interseção salgados ∩ suco). -
alunos gostam de doce e suco (interseção doces ∩ suco). -
alunos gostam das três opções (interseção salgados ∩ doces ∩ suco). -
alunos não gostam de nenhuma das opções.
As perguntas implícitas são:
- Quantos alunos gostam de pelo menos uma das três opções?
- Qual é o total de alunos na escola (contando também os que não gostam de nenhuma opção)?
Passo 2
Definindo conjuntos para organizar as informações:
- Seja
o conjunto de alunos que gostam de salgados, com . - Seja
o conjunto de alunos que gostam de doces, com . - Seja
o conjunto de alunos que gostam de suco, com .
A fórmula que usamos para o número de elementos da união de três conjuntos (quantos gostam de pelo menos uma opção) é a fórmula da inclusão-exclusão:
Vou explicar o que cada termo significa e por que aparece: cada um dos primeiros três termos conta quem gosta de cada opção. As interseções de dois conjuntos são subtraídas porque esses alunos foram contados duas vezes nas somas iniciais. Como a interseção dos três foi subtraída três vezes nas subtrações, ela precisa ser somada uma vez ao final (por isso o termo
).
Passo 3
Agora vou substituir os valores dados na fórmula. Primeiro some os totais individuais:
Calcule passo a passo:
Logo, a soma inicial é
.
Passo 4
Subtraia as interseções de dois conjuntos (os valores foram dados no enunciado):
Calcule:
Então subtraímos
de
:
Passo 5
Agora adicionamos a interseção dos três conjuntos, que foi subtraída em excesso nas contas anteriores:
Portanto,
alunos gostam de pelo menos uma das três opções (salgados, doces ou suco).
Passo 6
Por fim, para obter o total de alunos da escola, somamos os que não gostam de nenhuma opção (dado no enunciado:
):
Isso corresponde à alternativa
.
Resposta
e)