Questão 2. Calcule os limites, se existir, usando todas as propriedades de limites. (OBS. Não é permitido usar a regra de L’Hospital)]
( 1,5 pts)
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Passo 1
Vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando
tende a menos infinito da expressão
. Para resolver isso, vamos usar propriedades de limites e algumas técnicas de álgebra envolvendo raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente. Quando
tende a menos infinito, termos como
e
são dominantes, ou seja, têm maior impacto no comportamento da função.
Passo 3
Vamos simplificar a primeira raiz:
.
Para
muito grande e negativo,
. Então, a expressão dentro da raiz fica aproximadamente:
Passo 4
Agora, simplificamos a segunda raiz:
. Já está quase pronta, mas vamos fatorar
para facilitar:
Passo 5
Fazendo o mesmo para a primeira raiz simplificada:
Agora, nosso limite fica:
Passo 6
Sabemos que para
negativo,
. Então, substituímos nas raízes:
Passo 7
Colocando
em evidência:
Passo 8
Para simplificar as raízes, vamos usar a aproximação de que, para
pequeno,
. Aplicando isso:
Passo 9
Substituindo essas aproximações na expressão:
Passo 10
Simplificando dentro dos parênteses:
Multiplicando por
:
Resposta
O limite é
.