Questão 2. Calcule os limites, se existir, usando todas as propriedades de limites. (OBS. Não é permitido usar a regra de L’Hospital)]
( 1,5 pts) lim x -infty raizx^2-raiz[3]x^3+5-raizx^2-6 x

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando x tende a menos infinito da expressão raizx^2 - raiz[3]x^3 + 5 - raizx^2 - 6x. Para resolver isso, vamos usar propriedades de limites e algumas técnicas de álgebra envolvendo raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada parte da expressão separadamente. Quando x tende a menos infinito, termos como x^2 e x^3 são dominantes, ou seja, têm maior impacto no comportamento da função.

Passo 3

Vamos simplificar a primeira raiz: raizx^2 - raiz[3]x^3 + 5.
Para x muito grande e negativo, raiz[3]x^3 + 5 approx raiz[3]x^3 = x. Então, a expressão dentro da raiz fica aproximadamente:
raizx^2 - x

Passo 4

Agora, simplificamos a segunda raiz: raizx^2 - 6x. Já está quase pronta, mas vamos fatorar x^2 para facilitar:
raizx^2(1 - 6x)

Passo 5

Fazendo o mesmo para a primeira raiz simplificada:
raizx^2(1 - 1x)
Agora, nosso limite fica:
limx to -infty raizx^2(1 - 1x) - raizx^2(1 - 6x)

Passo 6

Sabemos que para x negativo, raizx^2 = -x. Então, substituímos nas raízes:
- x raiz1 - 1x - (-x) raiz1 - 6x = -x raiz1 - 1x + x raiz1 - 6x

Passo 7

Colocando x em evidência:
x ( raiz1 - 6x - raiz1 - 1x )

Passo 8

Para simplificar as raízes, vamos usar a aproximação de que, para a pequeno, raiz1 + a approx 1 + a2. Aplicando isso:
raiz1 - 6x approx 1 - 3x
raiz1 - 1x approx 1 - 12x

Passo 9

Substituindo essas aproximações na expressão:
x ( (1 - 3x) - (1 - 12x) ) = x ( -3x + 12x )

Passo 10

Simplificando dentro dos parênteses:
-3x + 12x = -52x
Multiplicando por x :
x ( -52x ) = -52

Resposta

O limite é -52.

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