Questão 2. Calcule os limites, se existir, usando todas as propriedades de limites. (OBS. Não é permitido usar a regra de L’Hospital)]
(1,5 pts)
(1,5 pts)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de limite juntos! O problema pede para calcular o limite quando
se aproxima de 0 na expressão:
Vamos usar propriedades de limites e algumas expansões de séries para resolver isso, sem usar a regra de L’Hospital.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão. Perceba que temos um 5 no numerador que podemos fatorar:
Isso facilita um pouco, mas ainda precisamos lidar com as funções exponenciais e seno na aproximação de
próximo a 0.
Passo 3
Vamos lembrar que, quando
é bem pequeno, podemos aproximar
usando a série de Taylor:
Aplicando isso nas exponenciais do numerador:
Substituindo na expressão:
Passo 4
Agora, vamos tratar o denominador. Usamos a aproximação para seno quando
está próximo de 0:
Aplicando isso:
Substituindo na expressão do denominador:
Passo 5
Agora, substituímos as aproximações do numerador e do denominador na expressão original:
Simplificando os
:
Resposta
O limite é igual a
.