Questão 2. Calcule os limites, se existir, usando todas as propriedades de limites. (OBS. Não é permitido usar a regra de L’Hospital)]
(1,5 pts) lim x 0 5 e^x-5 e^3 xsen(3 x)-sen(7 x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de limite juntos! O problema pede para calcular o limite quando x se aproxima de 0 na expressão:
limx to 0 5e^x - 5e^3xsin(3x) - sin(7x)
Vamos usar propriedades de limites e algumas expansões de séries para resolver isso, sem usar a regra de L’Hospital.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Perceba que temos um 5 no numerador que podemos fatorar:
5(e^x - e^3x)sin(3x) - sin(7x)
Isso facilita um pouco, mas ainda precisamos lidar com as funções exponenciais e seno na aproximação de x próximo a 0.

Passo 3

Vamos lembrar que, quando x é bem pequeno, podemos aproximar e^kx usando a série de Taylor:
e^kx approx 1 + kx
Aplicando isso nas exponenciais do numerador:
e^x approx 1 + x
e^3x approx 1 + 3x
Substituindo na expressão:
e^x - e^3x approx (1 + x) - (1 + 3x) = -2x

Passo 4

Agora, vamos tratar o denominador. Usamos a aproximação para seno quando x está próximo de 0:
sin(kx) approx kx
Aplicando isso:
sin(3x) approx 3x
sin(7x) approx 7x
Substituindo na expressão do denominador:
sin(3x) - sin(7x) approx 3x - 7x = -4x

Passo 5

Agora, substituímos as aproximações do numerador e do denominador na expressão original:
5(e^x - e^3x)sin(3x) - sin(7x) approx 5(-2x)-4x
Simplificando os x :
5(-2)-4 = -10-4 = 2.5

Resposta

O limite é igual a 2.5 .

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