Questão 5. [1.5] É possível aplicar a regra de L 'Hospital para calcular o limite abaixo? Justifique sua resposta e caso afirmativo, calcule o limite.
\lim _{x \rightarrow 3} \frac{6-2 x+3 x^{2}-x^{3}}{x^{4}-3 x^{3}-x+3}

Passo 1

O enunciado pergunta se é possível aplicar a regra de L’Hospital para calcular
\lim_{x\to 3}\frac{6-2x+3x^{2}-x^{3}}{x^{4}-3x^{3}-x+3}.
As informações dadas são:
  • Numerador: N(x)=6-2x+3x^{2}-x^{3}.
  • Denominador: D(x)=x^{4}-3x^{3}-x+3.
    As tarefas: justificar se L’Hospital pode ser usada e, se sim, calcular o limite.

Passo 2

O que é a regra de L’Hospital (explicação didática, passo a passo)?
  • Regra de L’Hospital para a forma \tfrac{0}{0}: se f e g são diferenciáveis numa vizinhança de a (exceto possivelmente em a), g'(x)\neq 0 nessa vizinhança (exceto talvez em a), e \lim_{x\to a} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to a} g(x)=0,então, se o limite \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}existe (ou é \pm\infty), temos \lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
  • Por que isso vale aqui? Polinômios são diferenciáveis e contínuos em todo lugar, então as hipóteses de diferenciabilidade ficam fáceis de verificar. Em resumo: primeiro checa-se se a substituição direta dá uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}; se sim, podemos tentar L’Hospital, desde que a razão das derivadas tenha limite.

Passo 3

Verificar a forma indeterminada (substituição direta em x=3).
  • Calcular N(3): N(3)=6-2\cdot 3+3\cdot 3^{2}-3^{3}=6-6+27-27=0.
  • Calcular D(3): D(3)=3^{4}-3\cdot 3^{3}-3+3=81-81-3+3=0.
Como N(3)=0 e D(3)=0, a expressão tem a forma indeterminada \tfrac{0}{0}, portanto L’Hospital pode ser aplicada (polinômios são diferenciáveis e temos indeterminação).

Passo 4

Derivar numerador e denominador (lembrando a regra do potência: \tfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}; derivada de constante é 0; derivada de soma é soma das derivadas).
  • Derivada do numerador N(x)=6-2x+3x^{2}-x^{3}: N'(x)=0-2+6x-3x^{2}=-2+6x-3x^{2}.
  • Derivada do denominador D(x)=x^{4}-3x^{3}-x+3: D'(x)=4x^{3}-9x^{2}-1.
Aqui usei termo a termo: por exemplo, \tfrac{d}{dx}(-x^{3})=-3x^{2} e \tfrac{d}{dx}(-3x^{3})=-9x^{2}.

Passo 5

Avaliar as derivadas em x=3 e formar a razão.
  • Calcular N'(3): N'(3)=-2+6\cdot 3-3\cdot 3^{2}=-2+18-27=-11.
  • Calcular D'(3): D'(3)=4\cdot 3^{3}-9\cdot 3^{2}-1=4\cdot 27-9\cdot 9-1=108-81-1=26.
Observação importante: D'(3)=26\neq 0. Assim a razão das derivadas tem valor bem definido em x=3, e como N' e D' são contínuas, vale
\lim_{x\to 3}\frac{N'(x)}{D'(x)}=\frac{N'(3)}{D'(3)}=\frac{-11}{26}.
Pelo teorema de L’Hospital, isso é exatamente o limite pedido.

Passo 6

Conclusão final e incentivo breve: a aplicação de L’Hospital foi válida porque havia a forma \tfrac{0}{0} e ambos os lados são polinômios (diferenciáveis). Só foi preciso uma aplicação, pois a razão das derivadas já deu um valor finito. Boa — passo a passo, sem pânico!

Resposta

-\dfrac{11}{26}

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