Questão 5. [1.5] É possível aplicar a regra de
'Hospital para calcular o limite abaixo? Justifique sua resposta e caso afirmativo, calcule o limite.
Passo 1
O enunciado pergunta se é possível aplicar a regra de L’Hospital para calcular
As informações dadas são:
- Numerador:
. - Denominador:
.
As tarefas: justificar se L’Hospital pode ser usada e, se sim, calcular o limite.
Passo 2
O que é a regra de L’Hospital (explicação didática, passo a passo)?
- Regra de L’Hospital para a forma
: se e são diferenciáveis numa vizinhança de (exceto possivelmente em ), nessa vizinhança (exceto talvez em ), e então, se o limite existe (ou é ), temos - Por que isso vale aqui? Polinômios são diferenciáveis e contínuos em todo lugar, então as hipóteses de diferenciabilidade ficam fáceis de verificar. Em resumo: primeiro checa-se se a substituição direta dá uma indeterminação do tipo
; se sim, podemos tentar L’Hospital, desde que a razão das derivadas tenha limite.
Passo 3
Verificar a forma indeterminada (substituição direta em
).
- Calcular
: - Calcular
:
Como
e
, a expressão tem a forma indeterminada
, portanto L’Hospital pode ser aplicada (polinômios são diferenciáveis e temos indeterminação).
Passo 4
Derivar numerador e denominador (lembrando a regra do potência:
; derivada de constante é
; derivada de soma é soma das derivadas).
- Derivada do numerador
: - Derivada do denominador
:
Aqui usei termo a termo: por exemplo,
e
.
Passo 5
Avaliar as derivadas em
e formar a razão.
- Calcular
: - Calcular
:
Observação importante:
. Assim a razão das derivadas tem valor bem definido em
, e como
e
são contínuas, vale
Pelo teorema de L’Hospital, isso é exatamente o limite pedido.
Passo 6
Conclusão final e incentivo breve: a aplicação de L’Hospital foi válida porque havia a forma
e ambos os lados são polinômios (diferenciáveis). Só foi preciso uma aplicação, pois a razão das derivadas já deu um valor finito. Boa — passo a passo, sem pânico!