Questão 3. [3.0]. Dada a função f(x)=x^{3}+x^{2} determine:
a) pontos críticos;
b) intervalos de crescimento e decrescimento;
c) pontos de máximo e mínimo relativos;
d) intervalos de concavidade para cima e para baixo;

Passo 1

Primeiro vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • A função dada é f(x)=x^{3}+x^{2}.
  • O enunciado pede:
    a) determinar os pontos críticos;
    b) determinar os intervalos de crescimento e decrescimento;
    c) identificar os pontos de máximo e mínimo relativos;
    d) determinar os intervalos de concavidade para cima e para baixo.
Nada mais foi fornecido; vamos trabalhar com essa função para responder cada item.

Passo 2

Entender o que é preciso calcular: para estudar crescimento/decrescimento e extremos usamos a derivada. Vou explicar e calcular a derivada passo a passo.
  • O que é a derivada aqui e por que usamos ela?
    • A derivada f'(x) informa a taxa de variação instantânea de f em cada ponto. Se f'(x)>0 num intervalo, a função cresce ali; se f'(x)<0, decresce. Pontos críticos são pontos onde f'(x)=0 ou onde f' não existe (aqui f' existe para todo x).
  • Calculemos f'(x).
f(x)=x^{3}+x^{2}
Aplicando a regra de potência (a derivada de x^{n} é n x^{n-1}):
f'(x)=3x^{2}+2x.
É útil fatorar para resolver igual a zero:
f'(x)=x(3x+2).

Passo 3

Encontrar os pontos críticos: resolvemos f'(x)=0.
x(3x+2)=0 \quad\Rightarrow\quad x=0 \quad\text{ou}\quad 3x+2=0.
Da segunda equação obtemos 3x+2=0 \Rightarrow x=-\dfrac{2}{3}.
Portanto os pontos críticos (valores de x) são \,x=-\dfrac{2}{3} e \,x=0. (Não há pontos onde f' não existe.)

Passo 4

Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento usando um quadro de sinais de f'(x).
  • Os pontos críticos dividem a reta em três intervalos: (-\infty,-\tfrac{2}{3}), (-\tfrac{2}{3},0) e (0,\infty).
  • Em cada intervalo escolhemos um ponto teste e calculamos o sinal de f'(x)=x(3x+2).
  1. Para (-\infty,-\tfrac{2}{3}): escolha x=-1.
f'(-1)=(-1)\bigl(3(-1)+2\bigr)=(-1)(-3+2)=(-1)(-1)=1>0.
Logo f'(x)>0 nesse intervalo → f cresce em (-\infty,-\tfrac{2}{3}).
  1. Para (-\tfrac{2}{3},0): escolha x=-\tfrac{1}{2}.
f'\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)=\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)\bigl(3(-\tfrac{1}{2})+2\bigr)=\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)\bigl(-\tfrac{3}{2}+2\bigr)=\bigl(-\tfrac{1}{2}\bigr)\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=-\tfrac{1}{4}<0.
Logo f'(x)<0 nesse intervalo → f decresce em (-\tfrac{2}{3},0).
  1. Para (0,\infty): escolha x=1.
f'(1)=1\cdot(3\cdot1+2)=1\cdot5=5>0.
Logo f'(x)>0 nesse intervalo → f cresce em (0,\infty).
Resumo do teste de sinais: cresce em (-\infty,-\tfrac{2}{3}) e em (0,\infty); decresce em (-\tfrac{2}{3},0).

Passo 5

Determinar máximos e mínimos relativos usando o teste da primeira derivada (mudança de sinal de f') e calcular os valores de f nesses pontos.
  • Em x=-\tfrac{2}{3} a derivada passa de positiva (à esquerda) para negativa (à direita). Isso indica um ponto de máximo relativo em x=-\tfrac{2}{3}.
  • Em x=0 a derivada passa de negativa (à esquerda) para positiva (à direita). Isso indica um ponto de mínimo relativo em x=0.
Agora calculamos os valores de f nesses pontos para dar as coordenadas completas:
  1. Para x=-\tfrac{2}{3}:
f\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)=\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)^{3}+\bigl(-\tfrac{2}{3}\bigr)^{2} =\bigl(-\tfrac{8}{27}\bigr)+\bigl(\tfrac{4}{9}\bigr).
Colocando em denominador comum 27:
-\tfrac{8}{27}+\tfrac{12}{27}=\tfrac{4}{27}.
Portanto o ponto é \bigl(-\tfrac{2}{3},\tfrac{4}{27}\bigr) e é um máximo relativo.
  1. Para x=0:
f(0)=0^{3}+0^{2}=0.
Portanto o ponto é (0,0) e é um mínimo relativo.

Passo 6

Concavidade e pontos de inflexão: usamos a segunda derivada.
  • Definição rápida: a segunda derivada f''(x) indica a concavidade. Se f''(x)>0 em um intervalo, a curva é côncava para cima (como uma tigela). Se f''(x)<0, é côncava para baixo. Pontos onde f''(x)=0 e a concavidade troca de sinal podem ser pontos de inflexão.
Calculemos f''(x):
f'(x)=3x^{2}+2x \quad\Rightarrow\quad f''(x)=6x+2.
  • Resolver f''(x)=0:
6x+2=0 \quad\Rightarrow\quad x=-\tfrac{1}{3}.
Esse ponto divide a reta em (-\infty,-\tfrac{1}{3}) e (-\tfrac{1}{3},\infty). Testamos sinais:
  1. Para x=-1 (no primeiro intervalo):
f''(-1)=6(-1)+2=-6+2=-4<0,
logo concavidade para baixo em (-\infty,-\tfrac{1}{3}).
  1. Para x=0 (no segundo intervalo):
f''(0)=6\cdot0+2=2>0,
logo concavidade para cima em (-\tfrac{1}{3},\infty).
Assim há uma troca de concavidade em x=-\tfrac{1}{3}, que é um ponto de inflexão. Calculando o valor de f nesse ponto (opcional, mas útil):
f\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)=\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)^{3}+\bigl(-\tfrac{1}{3}\bigr)^{2}=-\tfrac{1}{27}+\tfrac{1}{9}=-\tfrac{1}{27}+\tfrac{3}{27}=\tfrac{2}{27}.
Portanto ponto de inflexão em \bigl(-\tfrac{1}{3},\tfrac{2}{27}\bigr).

Resposta

a) Pontos críticos: x=-\dfrac{2}{3} e x=0.
b) Intervalos de crescimento: (-\infty,-\tfrac{2}{3}) e (0,\infty).
Intervalo de decrescimento: (-\tfrac{2}{3},0).
c) Máximo relativo: \bigl(-\tfrac{2}{3},\tfrac{4}{27}\bigr).
Mínimo relativo: (0,0).
d) Concavidade para baixo: (-\infty,-\tfrac{1}{3}).
Concavidade para cima: (-\tfrac{1}{3},\infty).

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