Questão 3. [3.0]. Dada a função
determine:
a) pontos críticos;
b) intervalos de crescimento e decrescimento;
c) pontos de máximo e mínimo relativos;
d) intervalos de concavidade para cima e para baixo;
a) pontos críticos;
b) intervalos de crescimento e decrescimento;
c) pontos de máximo e mínimo relativos;
d) intervalos de concavidade para cima e para baixo;
Passo 1
Primeiro vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que nos foi dado.
- A função dada é
. - O enunciado pede:
a) determinar os pontos críticos;
b) determinar os intervalos de crescimento e decrescimento;
c) identificar os pontos de máximo e mínimo relativos;
d) determinar os intervalos de concavidade para cima e para baixo.
Nada mais foi fornecido; vamos trabalhar com essa função para responder cada item.
Passo 2
Entender o que é preciso calcular: para estudar crescimento/decrescimento e extremos usamos a derivada. Vou explicar e calcular a derivada passo a passo.
- O que é a derivada aqui e por que usamos ela?
- A derivada
informa a taxa de variação instantânea de em cada ponto. Se num intervalo, a função cresce ali; se , decresce. Pontos críticos são pontos onde ou onde não existe (aqui existe para todo ).
- A derivada
- Calculemos
.
Aplicando a regra de potência (a derivada de
é
):
É útil fatorar para resolver igual a zero:
Passo 3
Encontrar os pontos críticos: resolvemos
.
Da segunda equação obtemos
.
Portanto os pontos críticos (valores de
) são
e
. (Não há pontos onde
não existe.)
Passo 4
Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento usando um quadro de sinais de
.
- Os pontos críticos dividem a reta em três intervalos:
, e . - Em cada intervalo escolhemos um ponto teste e calculamos o sinal de
.
- Para
: escolha .
Logo
nesse intervalo →
cresce em
.
- Para
: escolha .
Logo
nesse intervalo →
decresce em
.
- Para
: escolha .
Logo
nesse intervalo →
cresce em
.
Resumo do teste de sinais: cresce em
e em
; decresce em
.
Passo 5
Determinar máximos e mínimos relativos usando o teste da primeira derivada (mudança de sinal de
) e calcular os valores de
nesses pontos.
- Em
a derivada passa de positiva (à esquerda) para negativa (à direita). Isso indica um ponto de máximo relativo em . - Em
a derivada passa de negativa (à esquerda) para positiva (à direita). Isso indica um ponto de mínimo relativo em .
Agora calculamos os valores de
nesses pontos para dar as coordenadas completas:
- Para
:
Colocando em denominador comum
:
Portanto o ponto é
e é um máximo relativo.
- Para
:
Portanto o ponto é
e é um mínimo relativo.
Passo 6
Concavidade e pontos de inflexão: usamos a segunda derivada.
- Definição rápida: a segunda derivada
indica a concavidade. Se em um intervalo, a curva é côncava para cima (como uma tigela). Se , é côncava para baixo. Pontos onde e a concavidade troca de sinal podem ser pontos de inflexão.
Calculemos
:
- Resolver
:
Esse ponto divide a reta em
e
. Testamos sinais:
- Para
(no primeiro intervalo):
logo concavidade para baixo em
.
- Para
(no segundo intervalo):
logo concavidade para cima em
.
Assim há uma troca de concavidade em
, que é um ponto de inflexão. Calculando o valor de
nesse ponto (opcional, mas útil):
Portanto ponto de inflexão em
.
Resposta
a) Pontos críticos:
e
.
b) Intervalos de crescimento:
e
.
Intervalo de decrescimento: .
Intervalo de decrescimento:
c) Máximo relativo:
.
Mínimo relativo: .
Mínimo relativo:
d) Concavidade para baixo:
.
Concavidade para cima: .
Concavidade para cima: