Questão 1. [2.0] Derive as funções abaixo:
y=\operatorname{sen} \sqrt{x^{3}}

Passo 1

O enunciado dá a função y=\sin\sqrt{x^{3}} e pede para derivá‑la, ou seja, encontrar \dfrac{dy}{dx}.
Informações relevantes: a expressão \sqrt{x^{3}} é real apenas para x\ge 0 (no contexto de funções reais). Portanto o domínio natural aqui é x\ge 0. Não vamos resolver ainda — só listei o que foi dado e o que pedem.

Passo 2

Conceito importante que vou usar: regra da cadeia. Ela diz que se y=f(g(x)) então
\frac{dy}{dx}=f'(g(x))\cdot g'(x).
Aqui cada termo significa:
  • f é a função externa (por exemplo \sin),
  • g é a função interna (por exemplo \sqrt{x^3}),
  • f'(g(x)) é a derivada da função externa avaliada na função interna,
  • g'(x) é a derivada da função interna em relação a x.
Também lembrando: a derivada de \sin u em relação a u é \cos u. E a regra de potência (para x^n) diz que \dfrac{d}{dx}x^n= n x^{\,n-1} (válida para qualquer racional n quando a expressão faz sentido).

Passo 3

Identificar as funções interna e externa no nosso caso:
  • Função externa f(u)=\sin u.
  • Função interna u(x)=\sqrt{x^{3}}=(x^{3})^{1/2}.
    Não vamos usar jargões; apenas note que y=f(u(x)).

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia para a derivada de y=\sin(u(x)):
\frac{dy}{dx}=\cos\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Aqui u(x)=\sqrt{x^{3}}, então precisamos calcular u'(x).

Passo 5

Calcular u'(x). Há duas formas equivalentes; mostro ambas para fixar bem.
Método A — transformar antes e aplicar regra de potência: para x\ge0,
u(x)=\sqrt{x^{3}}=(x^{3})^{1/2}=x^{3/2}.
Aplicando a regra de potência,
u'(x)=\frac{3}{2}x^{3/2-1}=\frac{3}{2}x^{1/2}.
Método B — usar cadeia em dois passos (útil quando a potência não é óbvia): defina v(x)=x^3 e u(v)=v^{1/2}. Então
u'(x)=\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}=\frac{1}{2}v^{-1/2}\cdot 3x^{2}=\frac{3}{2}\,x^{2}\,(x^{3})^{-1/2}.
Agora simplifique (x^{3})^{-1/2}=x^{-3/2}, ficando
u'(x)=\frac{3}{2}\,x^{2}\,x^{-3/2}=\frac{3}{2}\,x^{1/2},
mesmo resultado do Método A.

Passo 6

Voltar para a expressão de \dfrac{dy}{dx}. Substituindo u'(x)=\dfrac{3}{2}x^{1/2} em
\frac{dy}{dx}=\cos\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x),
obtemos
\frac{dy}{dx}=\cos\bigl(\sqrt{x^{3}}\bigr)\cdot\frac{3}{2}x^{1/2}.
Ordenando um pouco,
\frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}x^{1/2}\cos\bigl(\sqrt{x^{3}}\bigr).
Também pode-se escrever usando raiz:
\frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}\sqrt{x}\,\cos\bigl(\sqrt{x^{3}}\bigr).

Passo 7

Observação sobre o ponto x=0: a dedução por potência deu x^{1/2}, que tende a 0 quando x\to0^+. O valor da derivada calculado pela fórmula tende a 0 em 0, e o quociente incremental direto mostra que a derivada em 0 existe e é 0. Portanto a expressão acima é válida para x>0 e estende‑se continuamente para x=0 atribuindo‑se o valor 0 no ponto x=0.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}\sqrt{x}\,\cos\bigl(\sqrt{x^{3}}\bigr)

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