Questão 1. [2.0] Derive as funções abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para derivá‑la, ou seja, encontrar
.
Informações relevantes: a expressão é real apenas para
(no contexto de funções reais). Portanto o domínio natural aqui é
. Não vamos resolver ainda — só listei o que foi dado e o que pedem.
Informações relevantes: a expressão
Passo 2
Conceito importante que vou usar: regra da cadeia. Ela diz que se
então
Aqui cada termo significa:
-
é a função externa (por exemplo ), -
é a função interna (por exemplo ), -
é a derivada da função externa avaliada na função interna, -
é a derivada da função interna em relação a .
Também lembrando: a derivada de
em relação a
é
. E a regra de potência (para
) diz que
(válida para qualquer racional
quando a expressão faz sentido).
Passo 3
Identificar as funções interna e externa no nosso caso:
- Função externa
. - Função interna
.
Não vamos usar jargões; apenas note que.
Passo 4
Aplicando a regra da cadeia para a derivada de
:
Aqui
, então precisamos calcular
.
Passo 5
Calcular
. Há duas formas equivalentes; mostro ambas para fixar bem.
Método A — transformar antes e aplicar regra de potência: para
,
Aplicando a regra de potência,
Método B — usar cadeia em dois passos (útil quando a potência não é óbvia): defina
e
. Então
Agora simplifique
, ficando
mesmo resultado do Método A.
Passo 6
Voltar para a expressão de
. Substituindo
em
obtemos
Ordenando um pouco,
Também pode-se escrever usando raiz:
Passo 7
Observação sobre o ponto
: a dedução por potência deu
, que tende a
quando
. O valor da derivada calculado pela fórmula tende a
em
, e o quociente incremental direto mostra que a derivada em
existe e é
. Portanto a expressão acima é válida para
e estende‑se continuamente para
atribuindo‑se o valor
no ponto
.