Questão 3. [1, p. 66] Considere o processo estocástico
definido como
onde
é uma variável aleatória com distribuição uniforme sobre o intervalo
. Marque a única opção correta.
(a) Os incrementos do processo são independentes e são estacionários e o incremento no intervalo
é
.
(b) Os incrementos do processo são independentes e não são estacionários e o incremento no intervalo
é
.
(c) Os incrementos do processo são estacionários e não são independentes e o incremento no intervalo
é
.
(d) Os incrementos do processo não são estacionários e não são independentes e o incremento no intervalo
é
.
(e) Nenhuma das afirmações anteriores está correta.
(a) Os incrementos do processo são independentes e são estacionários e o incremento no intervalo
(b) Os incrementos do processo são independentes e não são estacionários e o incremento no intervalo
(c) Os incrementos do processo são estacionários e não são independentes e o incremento no intervalo
(d) Os incrementos do processo não são estacionários e não são independentes e o incremento no intervalo
(e) Nenhuma das afirmações anteriores está correta.
Passo 1
O enunciado nos dá o processo estocástico
definido por
onde
é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo
. A questão pede que você marque a única opção correta entre (a)–(e), ou seja, verificar duas propriedades dos incrementos do processo: (i) se os incrementos são independentes ou não, (ii) se são estacionários ou não; e também confirmar a expressão do incremento no intervalo
. Essas são as informações relevantes dadas: a fórmula de
e a distribuição de
.
Passo 2
Calcular a expressão do incremento no intervalo
. Por definição, o incremento é
Substituindo
, temos
As constantes
cancelam, ficando
Portanto a fórmula do incremento é
, que coincide com as expressões dadas em todas as alternativas (a)–(d).
Passo 3
Entender a distribuição desse incremento. Sabemos que
. Se multiplicamos
por uma constante positiva
, a variável
tem distribuição uniforme em
. Logo
Isso é útil para avaliar estacionariedade: a distribuição do incremento depende apenas de
(o comprimento do intervalo) e não de
ou
isoladamente.
Passo 4
Definição e teste de estacionariedade dos incrementos. Incrementos são chamados de estacionários se, para quaisquer
e qualquer deslocamento
, a distribuição de
é a mesma que a distribuição de
No nosso caso
e
ou seja, tem a mesma distribuição uniforme em
. Como a distribuição do incremento depende apenas do comprimento
, concluímos que os incrementos são estacionários.
Passo 5
Definição e teste de independência dos incrementos. Incrementos sobre intervalos disjuntos são independentes se as variáveis aleatórias correspondentes forem independentes. Tome dois intervalos disjuntos, por exemplo
e
com
. Seus incrementos são
e
Ambos são múltiplos da mesma variável
. Assim,
e
não podem ser independentes (a menos que
fosse degenerada, o que não é o caso). Em palavras: conhecer
dá informação sobre
e portanto sobre
. Logo os incrementos não são independentes.
Passo 6
Mostrar quantitativamente a dependência (para reforçar a ideia). Calculemos a covariância entre
e
. Primeiro recorde (fácil de derivar para
):
logo
Agora
Como
e os comprimentos
e
são positivos, temos
. Isso prova que
e
são dependentes (independência exigiria covariância zero para variáveis em L2, e aqui há covariância positiva).
Passo 7
Resumo das conclusões, relacionando com as alternativas: a expressão do incremento é
(presente em (a)–(d)). Verificamos que os incrementos são estacionários (a distribuição depende só do comprimento do intervalo) e que não são independentes (visto que todos os incrementos são múltiplos do mesmo
e têm covariância positiva). Portanto a alternativa que diz "os incrementos do processo são estacionários e não são independentes e o incremento … é
" é a correta.
Resposta
(c)