Questão 3. [1, p. 66] Considere o processo estocástico \{X(t), t>0\} definido como
X(t)=t Y+1
onde Y é uma variável aleatória com distribuição uniforme sobre o intervalo (0,1). Marque a única opção correta.
(a) Os incrementos do processo são independentes e são estacionários e o incremento no intervalo \left[t_{1}, t_{2}\right) é X\left(t_{2}\right)-X\left(t_{1}\right)=\left(t_{2}-t_{1}\right) Y.
(b) Os incrementos do processo são independentes e não são estacionários e o incremento no intervalo \left[t_{1}, t_{2}\right) é X\left(t_{2}\right)-X\left(t_{1}\right)=\left(t_{2}-t_{1}\right) Y.
(c) Os incrementos do processo são estacionários e não são independentes e o incremento no intervalo \left[t_{1}, t_{2}\right) é X\left(t_{2}\right)-X\left(t_{1}\right)=\left(t_{2}-t_{1}\right) Y.
(d) Os incrementos do processo não são estacionários e não são independentes e o incremento no intervalo \left[t_{1}, t_{2}\right) é X\left(t_{2}\right)-X\left(t_{1}\right)=\left(t_{2}-t_{1}\right) Y.
(e) Nenhuma das afirmações anteriores está correta.

Passo 1

O enunciado nos dá o processo estocástico \{X(t), t>0\} definido por
X(t)=t\,Y+1,
onde Y é uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo (0,1). A questão pede que você marque a única opção correta entre (a)–(e), ou seja, verificar duas propriedades dos incrementos do processo: (i) se os incrementos são independentes ou não, (ii) se são estacionários ou não; e também confirmar a expressão do incremento no intervalo \left[t_{1},t_{2}\right). Essas são as informações relevantes dadas: a fórmula de X(t) e a distribuição de Y.

Passo 2

Calcular a expressão do incremento no intervalo \left[t_{1},t_{2}\right). Por definição, o incremento é
X(t_{2})-X(t_{1}).
Substituindo X(t)=tY+1, temos
X(t_{2})-X(t_{1})=(t_{2}Y+1)-(t_{1}Y+1).
As constantes +1 cancelam, ficando
X(t_{2})-X(t_{1})=(t_{2}-t_{1})\,Y.
Portanto a fórmula do incremento é \left(t_{2}-t_{1}\right)Y, que coincide com as expressões dadas em todas as alternativas (a)–(d).

Passo 3

Entender a distribuição desse incremento. Sabemos que Y\sim\text{Uniforme}(0,1). Se multiplicamos Y por uma constante positiva a=t_{2}-t_{1}>0, a variável aY tem distribuição uniforme em (0,a). Logo
X(t_{2})-X(t_{1})=(t_{2}-t_{1})Y \sim \text{Uniforme}\bigl(0,\;t_{2}-t_{1}\bigr).
Isso é útil para avaliar estacionariedade: a distribuição do incremento depende apenas de t_{2}-t_{1} (o comprimento do intervalo) e não de t_{1} ou t_{2} isoladamente.

Passo 4

Definição e teste de estacionariedade dos incrementos. Incrementos são chamados de estacionários se, para quaisquer t_{1}<t_{2} e qualquer deslocamento \tau>0, a distribuição de
X(t_{2})-X(t_{1})
é a mesma que a distribuição de
X(t_{2}+\tau)-X(t_{1}+\tau).
No nosso caso
X(t_{2})-X(t_{1})\sim \text{Uniforme}\bigl(0,\;t_{2}-t_{1}\bigr)
e
X(t_{2}+\tau)-X(t_{1}+\tau) = \bigl((t_{2}+\tau)-(t_{1}+\tau)\bigr)Y=(t_{2}-t_{1})Y,
ou seja, tem a mesma distribuição uniforme em \bigl(0,\;t_{2}-t_{1}\bigr). Como a distribuição do incremento depende apenas do comprimento t_{2}-t_{1}, concluímos que os incrementos são estacionários.

Passo 5

Definição e teste de independência dos incrementos. Incrementos sobre intervalos disjuntos são independentes se as variáveis aleatórias correspondentes forem independentes. Tome dois intervalos disjuntos, por exemplo \left[t_{1},t_{2}\right) e \left[t_{3},t_{4}\right) com t_{1}<t_{2}\le t_{3}<t_{4}. Seus incrementos são
I_{1}=X(t_{2})-X(t_{1})=(t_{2}-t_{1})Y
e
I_{2}=X(t_{4})-X(t_{3})=(t_{4}-t_{3})Y.
Ambos são múltiplos da mesma variável Y. Assim, I_{1} e I_{2} não podem ser independentes (a menos que Y fosse degenerada, o que não é o caso). Em palavras: conhecer I_{1} dá informação sobre Y e portanto sobre I_{2}. Logo os incrementos não são independentes.

Passo 6

Mostrar quantitativamente a dependência (para reforçar a ideia). Calculemos a covariância entre I_{1} e I_{2}. Primeiro recorde (fácil de derivar para Y\sim\text{Uniforme}(0,1)):
\E[Y]=\tfrac{1}{2},\qquad \E[Y^{2}]=\tfrac{1}{3},
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\Var(Y)=\E[Y^{2}]-\bigl(\E[Y]\bigr)^{2}=\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{12}.
Agora
\Cov(I_{1},I_{2})=\Cov\bigl((t_{2}-t_{1})Y,\;(t_{4}-t_{3})Y\bigr)=(t_{2}-t_{1})(t_{4}-t_{3})\Var(Y).
Como \Var(Y)=\tfrac{1}{12}>0 e os comprimentos (t_{2}-t_{1}) e (t_{4}-t_{3}) são positivos, temos \Cov(I_{1},I_{2})>0. Isso prova que I_{1} e I_{2} são dependentes (independência exigiria covariância zero para variáveis em L2, e aqui há covariância positiva).

Passo 7

Resumo das conclusões, relacionando com as alternativas: a expressão do incremento é \left(t_{2}-t_{1}\right)Y (presente em (a)–(d)). Verificamos que os incrementos são estacionários (a distribuição depende só do comprimento do intervalo) e que não são independentes (visto que todos os incrementos são múltiplos do mesmo Y e têm covariância positiva). Portanto a alternativa que diz "os incrementos do processo são estacionários e não são independentes e o incremento … é \left(t_{2}-t_{1}\right)Y" é a correta.

Resposta

(c)

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