Questão 4. Considere as seguintes afirmações a respeito do processo
, definido na questão 3:
(I) A função média desse processo é
;
(II) A função de autocorrelação desse processo é
;
(III) A função de autocovariância desse processo é
;
(IV) O processo não é estacionário no sentido amplo.
Marque a única opção correta.
(a) Apenas as afirmações (I) e (II) estão corretas.
(b) Apenas as afirmações (II) e (III) estão corretas.
(c) Apenas as afirmações (I), (II) e (IV) estão corretas.
(d) Todas as afirmações estão corretas.
(I) A função média desse processo é
(II) A função de autocorrelação desse processo é
(III) A função de autocovariância desse processo é
(IV) O processo não é estacionário no sentido amplo.
(a) Apenas as afirmações (I) e (II) estão corretas.
(b) Apenas as afirmações (II) e (III) estão corretas.
(c) Apenas as afirmações (I), (II) e (IV) estão corretas.
(d) Todas as afirmações estão corretas.
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar qual das alternativas (a), (b), (c) ou (d) é a única correta, onde cada alternativa indica quais entre as afirmações (I), (II), (III) e (IV) são verdadeiras para o processo
definido na questão 3.
Informações dadas no enunciado desta questão (apenas):
(I) A função média é .
(II) A função de autocorrelação é .
(III) A função de autocovariância é .
(IV) O processo não é estacionário no sentido amplo.
Observação importante: o enunciado refere-se a um processo que foi definido na questão 3, mas a definição desse processo (a forma funcional ou a lei de probabilidade que gera ) não foi fornecida aqui. Sem essa definição não temos diretamente os valores de esperança e correlações a partir da regra do processo; apenas temos as afirmações que devemos verificar.
Informações dadas no enunciado desta questão (apenas):
(I) A função média é
(II) A função de autocorrelação é
(III) A função de autocovariância é
(IV) O processo não é estacionário no sentido amplo.
Observação importante: o enunciado refere-se a um processo que foi definido na questão 3, mas a definição desse processo (a forma funcional ou a lei de probabilidade que gera
Passo 2
O que é necessário para verificar cada afirmação (explicação didática):
- Para verificar (I) eu precisaria calcular
: isso exige a expressão de ou as distribuições marginais. A esperança é a média (valor esperado) do valor de em cada instante . Em palavras, preciso saber como depende de variáveis aleatórias ou determinísticas para aplicar a linearidade da expectativa. - Para verificar (II) eu precisaria calcular
: isso exige informação sobre a dependência conjunta entre e (por exemplo se vêm de um mesmo fator aleatório, se são independentes, se há termos determinísticos etc.). - Para verificar (III) eu posso usar a relação entre autocovariância, autocorrelação e média:
Ou seja, se eu seie posso calcular algebraicamente. Porém isso ainda exige e corretos. - Para decidir (IV) sobre estacionariedade em sentido amplo (amplitude ampla / segundo ordem) preciso checar duas condições: (a) se
é constante (independente de ); (b) se depende apenas da diferença (ou equivalentemente se para todo ). Se qualquer uma das duas falhar, o processo não é estacionário no sentido amplo. Portanto para (IV) também preciso conhecer e .
Passo 3
Por que, com os dados fornecidos nesta questão isoladamente, não dá para concluir a resposta única:
- A questão faz referência explícita à definição do processo dada na questão 3. Sem essa definição não posso calcular
nem a partir da primeira princípios. As três primeiras afirmações são proposições sobre valores de esperança e correlações que dependem da definição do processo. - Embora exista uma relação algébrica entre (I), (II) e (III) (ou seja, se (I) e (II) forem verdadeiras então (III) segue por
), não posso afirmar que (I) e (II) sejam verdadeiras sem conhecer o processo. Portanto não posso escolher uma alternativa certa entre as listadas apenas com as informações desta pergunta isolada.
Passo 4
Explicação prática (como eu checaria cada afirmação se eu tivesse a questão 3): procedimento passo a passo que você pode usar na prova
- Pegue a definição de
da questão 3 (por exemplo, uma decomposição do tipo ou uma soma de termos aleatórios dependentes). - Calcule a média usando a linearidade da expectativa:
. Explique cada termo (se com tendo , então ). - Calcule
expandindo o produto e usando independência/linearidade conforme a definição do processo; lembre-se que se houver um mesmo fator aleatório presente em ambos instantes, aparecem termos de covariância. - Obtenha
. - Para estacionariedade em sentido amplo: verifique se
é constante; verifique se depende apenas de . Se qualquer verificação falhar, conclua não estacionariedade.
Dica: faça as contas simbolicamente (sem calculadora) simplificando fatores e checando dependência emou .
Passo 5
Um exemplo ilustrativo (hipotético) para fixar a ideia — isto é apenas um exemplo mostrando um caso em que todas as afirmações seriam verdadeiras: suponha que a questão 3 definisse
, onde
é uma v.a. com
e
.
- Então
(confirmando (I)). - E
(confirmando (II)). - Logo
(confirmando (III)). - Como
depende de , o processo não é estacionário no sentido amplo (confirmando (IV)).
Nesse exemplo hipotético todas as afirmações (I) a (IV) seriam verdadeiras, e a alternativa correta seria (d). Mas salientando: este exemplo só vale se a definição do processo em questão 3 for exatamente essa; sem ver a questão 3 não posso assumir que seja.
Resposta
Não é possível responder de forma única com certeza porque a definição do processo
dada na questão 3 não foi fornecida aqui; portanto falta informação necessária para verificar (I)–(IV).