Questão 4. Considere as seguintes afirmações a respeito do processo \{X(t), t>0\}, definido na questão 3:
(I) A função média desse processo é m_{X}(t)=\frac{t}{2}+1;
(II) A função de autocorrelação desse processo é R_{X}\left(t_{1}, t_{2}\right)=\frac{t_{1} t_{2}}{3}+\frac{t_{1}}{2}+\frac{t_{2}}{2}+1;
(III) A função de autocovariância desse processo é C_{X}\left(t_{1}, t_{2}\right)=\frac{t_{1} t_{2}}{12};
(IV) O processo não é estacionário no sentido amplo.
Marque a única opção correta.
(a) Apenas as afirmações (I) e (II) estão corretas.
(b) Apenas as afirmações (II) e (III) estão corretas.
(c) Apenas as afirmações (I), (II) e (IV) estão corretas.
(d) Todas as afirmações estão corretas.

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar qual das alternativas (a), (b), (c) ou (d) é a única correta, onde cada alternativa indica quais entre as afirmações (I), (II), (III) e (IV) são verdadeiras para o processo \{X(t), t>0\} definido na questão 3.
Informações dadas no enunciado desta questão (apenas):
(I) A função média é m_{X}(t)=\frac{t}{2}+1.
(II) A função de autocorrelação é R_{X}\left(t_{1}, t_{2}\right)=\frac{t_{1} t_{2}}{3}+\frac{t_{1}}{2}+\frac{t_{2}}{2}+1.
(III) A função de autocovariância é C_{X}\left(t_{1}, t_{2}\right)=\frac{t_{1} t_{2}}{12}.
(IV) O processo não é estacionário no sentido amplo.
Observação importante: o enunciado refere-se a um processo que foi definido na questão 3, mas a definição desse processo (a forma funcional ou a lei de probabilidade que gera X(t)) não foi fornecida aqui. Sem essa definição não temos diretamente os valores de esperança e correlações a partir da regra do processo; apenas temos as afirmações que devemos verificar.

Passo 2

O que é necessário para verificar cada afirmação (explicação didática):
  • Para verificar (I) eu precisaria calcular m_X(t)=\mathbb{E}[X(t)]: isso exige a expressão de X(t) ou as distribuições marginais. A esperança é a média (valor esperado) do valor de X(t) em cada instante t. Em palavras, preciso saber como X(t) depende de variáveis aleatórias ou determinísticas para aplicar a linearidade da expectativa.
  • Para verificar (II) eu precisaria calcular R_X(t_1,t_2)=\mathbb{E}[X(t_1)X(t_2)]: isso exige informação sobre a dependência conjunta entre X(t_1) e X(t_2) (por exemplo se vêm de um mesmo fator aleatório, se são independentes, se há termos determinísticos etc.).
  • Para verificar (III) eu posso usar a relação entre autocovariância, autocorrelação e média:
    \;C_X(t_1,t_2)=R_X(t_1,t_2)-m_X(t_1)m_X(t_2).
    Ou seja, se eu sei R_X e m_X posso calcular C_X algebraicamente. Porém isso ainda exige R_X e m_X corretos.
  • Para decidir (IV) sobre estacionariedade em sentido amplo (amplitude ampla / segundo ordem) preciso checar duas condições: (a) se m_X(t) é constante (independente de t); (b) se C_X(t_1,t_2) depende apenas da diferença \tau=t_2-t_1 (ou equivalentemente se C_X(t_1,t_2)=C_X(t_1+\Delta,t_2+\Delta) para todo \Delta). Se qualquer uma das duas falhar, o processo não é estacionário no sentido amplo. Portanto para (IV) também preciso conhecer m_X e C_X.

Passo 3

Por que, com os dados fornecidos nesta questão isoladamente, não dá para concluir a resposta única:
  • A questão faz referência explícita à definição do processo dada na questão 3. Sem essa definição não posso calcular \mathbb{E}[X(t)] nem \mathbb{E}[X(t_1)X(t_2)] a partir da primeira princípios. As três primeiras afirmações são proposições sobre valores de esperança e correlações que dependem da definição do processo.
  • Embora exista uma relação algébrica entre (I), (II) e (III) (ou seja, se (I) e (II) forem verdadeiras então (III) segue por C=R-m m), não posso afirmar que (I) e (II) sejam verdadeiras sem conhecer o processo. Portanto não posso escolher uma alternativa certa entre as listadas apenas com as informações desta pergunta isolada.

Passo 4

Explicação prática (como eu checaria cada afirmação se eu tivesse a questão 3): procedimento passo a passo que você pode usar na prova
  1. Pegue a definição de X(t) da questão 3 (por exemplo, uma decomposição do tipo X(t)=\mu(t)+\sigma(t)Y ou uma soma de termos aleatórios dependentes).
  2. Calcule a média usando a linearidade da expectativa: m_X(t)=\mathbb{E}[X(t)]. Explique cada termo (se X(t)=a(t)+b(t)Z com Z tendo \mathbb{E}[Z]=0, então m_X(t)=a(t)).
  3. Calcule R_X(t_1,t_2)=\mathbb{E}[X(t_1)X(t_2)] expandindo o produto e usando independência/linearidade conforme a definição do processo; lembre-se que se houver um mesmo fator aleatório Z presente em ambos instantes, aparecem termos de covariância.
  4. Obtenha C_X(t_1,t_2)=R_X(t_1,t_2)-m_X(t_1)m_X(t_2).
  5. Para estacionariedade em sentido amplo: verifique se m_X(t) é constante; verifique se C_X(t_1,t_2) depende apenas de \tau=t_2-t_1. Se qualquer verificação falhar, conclua não estacionariedade.
    Dica: faça as contas simbolicamente (sem calculadora) simplificando fatores e checando dependência em t ou \tau.

Passo 5

Um exemplo ilustrativo (hipotético) para fixar a ideia — isto é apenas um exemplo mostrando um caso em que todas as afirmações seriam verdadeiras: suponha que a questão 3 definisse
\;X(t)=\frac{t}{2}+1+\frac{t}{\sqrt{12}}Z, onde Z é uma v.a. com \mathbb{E}[Z]=0 e \operatorname{Var}(Z)=1.
  • Então \;m_X(t)=\mathbb{E}[X(t)]=\frac{t}{2}+1 (confirmando (I)).
  • E \;R_X(t_1,t_2)=\mathbb{E}[X(t_1)X(t_2)]=\big(\tfrac{t_1}{2}+1\big)\big(\tfrac{t_2}{2}+1\big)+\frac{t_1 t_2}{12}=\frac{t_1 t_2}{3}+\frac{t_1}{2}+\frac{t_2}{2}+1 (confirmando (II)).
  • Logo C_X(t_1,t_2)=R_X(t_1,t_2)-m_X(t_1)m_X(t_2)=\frac{t_1 t_2}{12} (confirmando (III)).
  • Como m_X(t)=\frac{t}{2}+1 depende de t, o processo não é estacionário no sentido amplo (confirmando (IV)).
    Nesse exemplo hipotético todas as afirmações (I) a (IV) seriam verdadeiras, e a alternativa correta seria (d). Mas salientando: este exemplo só vale se a definição do processo em questão 3 for exatamente essa; sem ver a questão 3 não posso assumir que seja.

Resposta

Não é possível responder de forma única com certeza porque a definição do processo \{X(t),t>0\} dada na questão 3 não foi fornecida aqui; portanto falta informação necessária para verificar (I)–(IV).

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